Examkin

Question

Difficulty: MediumMutlak Değer
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
∣x−2∣+∣x+4∣=10 |x - 2| + |x + 4| = 10
eşitliğini sağlayan xx değerlerinin toplamı kaçtır?
  1. -2Answer
  2. B
    -6
  3. C
    2
  4. D
    4
  5. E
    6

Answer

Eşitliği sağlayan x değerlerinin toplamı -2'dir.
Verilen denklemde xx için kritik noktalar −4-4 ve 22'dir. x<−4x < -4 için çözüm x=−6x = -6 ve x>2x > 2 için çözüm x=4x = 4 olarak bulunur. Orta aralıkta (−4-4 ile 22 arası) toplam sabit olup 66'dır ve 1010'a eşit olamaz. Bulunan değerlerin toplamı −6+4=−2-6 + 4 = -2 olur.

Step-by-Step Solution

1
Kritik noktaların belirlenmesi
x=2x = 2 ve x=−4x = -4
Mutlak değerlerin içini sıfır yapan noktalar, ifadenin davranışının değiştiği yerlerdir.
2
x<−4x < -4 durumu için denklemin çözülmesi
−(x−2)−(x+4)=10⇒−2x−2=10⇒x=−6-(x-2) - (x+4) = 10 \Rightarrow -2x - 2 = 10 \Rightarrow x = -6
x<−4x < -4 iken her iki mutlak değer içi de negatiftir ve işaret değiştirerek çıkar.
3
−4≤x≤2-4 \leq x \leq 2 durumu için denklemin çözülmesi
−(x−2)+(x+4)=10⇒6=10-(x-2) + (x+4) = 10 \Rightarrow 6 = 10
Bu aralıkta ilk ifade negatif, ikinci ifade pozitif çıkar. Elde edilen eşitlik yanlıştır, bu aralıkta kök yoktur.
4
x>2x > 2 durumu için denklemin çözülmesi
(x−2)+(x+4)=10⇒2x+2=10⇒x=4(x-2) + (x+4) = 10 \Rightarrow 2x + 2 = 10 \Rightarrow x = 4
x>2x > 2 iken her iki mutlak değer içi de pozitiftir ve aynen çıkar.
5
Bulunan değerlerin toplanması
−6+4=−2-6 + 4 = -2
Denklemi sağlayan tüm farklı gerçel sayıların toplamı istenmiştir.

Key Concept

Mutlak değerli denklemlerde kritik noktalara göre aralık incelemesi yapılması.

Hints

1
Mutlak değerlerin içini sıfır yapan değerleri (kritik noktaları) bulmayı deneyin.
2
Sayı doğrusunu kritik noktalara göre üç bölgeye ayırın ve her bölge için x'in değerini kontrol edin.
3
∣x−a∣+∣x−b∣=k|x-a| + |x-b| = k tipindeki sorularda x'in bu iki noktaya olan uzaklıkları toplamının k olduğu unutulmamalıdır.

Practice More

Benzer bir mantıkla ∣x−1∣+∣x−5∣=4|x - 1| + |x - 5| = 4 denkleminin çözüm kümesini bulmaya çalışın.

Alternative Method

Geometrik yorum: ∣x−2∣|x - 2| ifadesi x'in 2 noktasına uzaklığı, ∣x+4∣|x + 4| ifadesi ise x'in -4 noktasına uzaklığıdır. Bu iki uzaklığın toplamı 10 olmalıdır. -4 ve 2 arasındaki mesafe 6'dır. x bu aralığın dışındaysa, örneğin 2'den d birim sağdaysa, toplam mesafe d+(6+d)=10⇒2d=4⇒d=2d + (6+d) = 10 \Rightarrow 2d = 4 \Rightarrow d = 2 olur. Yani x=2+2=4x = 2 + 2 = 4. Benzer şekilde sol tarafta x=−4−2=−6x = -4 - 2 = -6 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Mutlak Değer

More questions from this topic