Examkin

Question

Difficulty: MediumMutlak Değer

Sayı doğrusu üzerindeki bir xx tam sayısının 2 noktasına olan uzaklığı 3 birimden azdır. Bir yy tam sayısının ise −1-1 noktasına olan uzaklığı en fazla 2 birimdir.

Buna göre, x⋅yx \cdot y çarpımının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

  1. A
    -12
  2. B
    -10
  3. -8Answer
  4. D
    -4
  5. E
    0

Answer

x⋅yx \cdot y çarpımının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı −8-8 olarak bulunur.
Verilen uzaklık ifadeleri ∣x−2∣<3|x - 2| < 3 ve ∣y+1∣≤2|y + 1| \leq 2 eşitsizliklerine karşılık gelir. Buradan xx tam sayısı {0,1,2,3,4}\{0, 1, 2, 3, 4\} değerlerini, yy tam sayısı ise {−3,−2,−1,0,1}\{-3, -2, -1, 0, 1\} değerlerini alabilir. Çarpımın alabileceği en büyük değer 4×1=44 \times 1 = 4, en küçük değer ise 4×(−3)=−124 \times (-3) = -12 olur. Bu iki değerin toplamı 4+(−12)=−84 + (-12) = -8 yapar.

Step-by-Step Solution

1
xx ve yy için mutlak değerli eşitsizlikleri kurma
∣x−2∣<3|x - 2| < 3 ve ∣y−(−1)∣≤2⇒∣y+1∣≤2|y - (-1)| \leq 2 \Rightarrow |y + 1| \leq 2
Bir noktanın diğerine uzaklığı mutlak değer ile ifade edilir.
2
Eşitsizlikleri çözerek tam sayı kümelerini belirleme
x∈{0,1,2,3,4}x \in \{0, 1, 2, 3, 4\} ve y∈{−3,−2,−1,0,1}y \in \{-3, -2, -1, 0, 1\}
−3<x−2<3⇒−1<x<5-3 < x - 2 < 3 \Rightarrow -1 < x < 5 ve −2≤y+1≤2⇒−3≤y≤1-2 \leq y + 1 \leq 2 \Rightarrow -3 \leq y \leq 1 olduğu için.
3
Çarpımın uç değerlerini hesaplama
En büyük: 4⋅1=44 \cdot 1 = 4, En küçük: 4⋅(−3)=−124 \cdot (-3) = -12
Çarpımın en büyük ve en küçük olması için kümelerdeki en uç değerler kombinlenir.
4
Bulunan değerleri toplama
4+(−12)=−84 + (-12) = -8
Soruda en büyük ve en küçük değerlerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Mutlak değerin sayı doğrusu üzerindeki uzaklık anlamı ve tam sayı aralıklarında çarpma işlemi.

Hints

1
Bir aa sayısının bb sayısına uzaklığı ∣a−b∣|a - b| şeklinde gösterilir.
2
Eşitsizlikleri çözdükten sonra xx ve yy için alabileceğiniz tüm tam sayı değerlerini bir kenara not edin.
3
Çarpımın en küçük değeri için pozitiflerin en büyüğü ile negatiflerin en küçüğünü (mutlakça en büyüğünü) çarpmayı deneyin.

Practice More

Mutlak değerli eşitsizliklerde sınırların dahil olup olmamasının tam sayı adedini nasıl etkilediğini inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Mutlak Değer

More questions from this topic