Examkin

Question

Difficulty: MediumKöklü İfadeler

x=3+10x = \sqrt{3} + \sqrt{10}, y=5+8y = \sqrt{5} + \sqrt{8} ve z=6+7z = \sqrt{6} + \sqrt{7} gerçel sayıları veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

  1. z>y>xz > y > xAnswer
  2. B
    x>y>zx > y > z
  3. C
    y>z>xy > z > x
  4. D
    z>x>yz > x > y
  5. E
    x>z>yx > z > y

Answer

z>y>xz > y > x sıralaması doğrudur.
Verilen ifadelerin hepsinde kök içindeki sayıların toplamı eşittir (3+10=133+10=13, 5+8=135+8=13, 6+7=136+7=13). Bu durumda sayıların karesi alındığında sabit kısımlar aynı kalır, çarpım kısımları (2a⋅b2\sqrt{a\cdot b}) belirleyici olur. Sayılar birbirine ne kadar yakınsa çarpımları o kadar büyük olacağından, birbirine en yakın olan 6\sqrt{6} ve 7\sqrt{7} ikilisinin toplamı (zz) en büyüktür. Sayılar birbirinden uzaklaştıkça çarpım küçülür, bu nedenle xx en küçüktür.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sayıların yaklaşık değerlerini hesaplamak zor olduğu için, her bir ifadenin karesini alarak kıyaslama yöntemini kullan.
x2,y2,z2x^2, y^2, z^2 hesaplanacak.
Pozitif sayılarda a>ba > b ise a2>b2a^2 > b^2 özelliği geçerlidir.
2
Her bir ifadenin parantez karesini (a+b)2=a2+b2+2ab(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab özdeşliği ile aç.
x2=(3+10)2=3+10+230=13+230x^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{10})^2 = 3 + 10 + 2\sqrt{30} = 13 + 2\sqrt{30}
y2=(5+8)2=5+8+240=13+240y^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{8})^2 = 5 + 8 + 2\sqrt{40} = 13 + 2\sqrt{40}
z2=(6+7)2=6+7+242=13+242z^2 = (\sqrt{6} + \sqrt{7})^2 = 6 + 7 + 2\sqrt{42} = 13 + 2\sqrt{42}
Köklü ifadelerin kareleri toplamı tamsayı verirken, çarpımları kök içinde kalır.
3
Elde edilen sonuçlardaki sabit terimler (13) aynı olduğu için, köklü kısımları (230,240,2422\sqrt{30}, 2\sqrt{40}, 2\sqrt{42}) karşılaştır.
42>40>3042 > 40 > 30 olduğundan 242>240>2302\sqrt{42} > 2\sqrt{40} > 2\sqrt{30} elde edilir.
Kök içindeki sayı büyüdükçe köklü ifadenin değeri artar.
4
Kareler arasındaki sıralamayı sayılara uygula.
z2>y2>x2z^2 > y^2 > x^2 olduğu için z>y>xz > y > x sonucuna ulaşılır.
Kare alma işlemi sıralamayı değiştirmez.

Key Concept

Köklü sayıların sıralanmasında, sayıların toplamları eşitse çarpımı büyük olan sayı daha büyüktür.

Hints

1
Köklü sayıların yaklaşık değerlerini hesaplamak yerine, ifadelerin karelerini almayı deneyin.
2
(a+b)2=a2+b2+2ab(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab özdeşliğini kullanarak her bir ifadenin karesini açın ve sabit terimlerin eşit olduğunu fark edin.
3
Toplamları 13 olan sayıların çarpımlarına bakın: 3⋅10=303\cdot10=30, 5⋅8=405\cdot8=40, 6⋅7=426\cdot7=42. Çarpımı büyük olan ifadenin karesi de daha büyüktür.

Practice More

Toplamları sabit olan sayıların çarpımının maksimum değeri ile ilgili temel kavram sorularını inceleyin.

Alternative Method

Sayıların birbirine yakınlığını inceleyin. Toplamları sabit olan iki pozitif reel sayı birbirine yaklaştıkça çarpımları (dolayısıyla ab\sqrt{ab} terimi) büyür. 6\sqrt{6} ve 7\sqrt{7} birbirine en yakın, 3\sqrt{3} ve 10\sqrt{10} en uzaktır.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Köklü İfadeler

More questions from this topic