\left( x - \frac{2}{x^2} \right)^n ifadesinin açılımında baştan dördüncü terim sabit terim… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

\left( x - \frac{2}{x^2} \right)^n

ifadesinin açılımında baştan dördüncü terim sabit terim olduğuna göre, bu açılımda

x^3

'lü terimin katsayısı kaçtır?

İstenen katsayı 144'tür.

Soruda verilen ifadenin genel terimi

\binom{n}{r} (x)^{n-r} (-2x^{-2})^r

şeklindedir.

Adım 1: n değerini bulma
Baştan 4. terim için

r=3

alınır. Sabit terim olması için

x

'in kuvveti

0

olmalıdır.

x^{1(n-3)} \cdot x^{-2(3)} = x^{n-3-6} = x^{n-9}

n-9=0 \Rightarrow n=9

bulunur.

Adım 2: İstenen terimi bulma
Bizden

x^3

'lü terimin katsayısı istenmektedir. Kuvveti

3

yapmak için:

n-3r = 3 \Rightarrow 9-3r = 3 \Rightarrow 3r = 6 \Rightarrow r=2

olmalıdır.

Adım 3: Katsayıyı hesaplama

r=2

n=9

değerlerini genel terimde yerine yazalım:

\binom{9}{2} (x)^{9-2} (-2x^{-2})^2

= \frac{9 \cdot 8}{2} \cdot x^7 \cdot 4x^{-4}

= 36 \cdot x^7 \cdot 4 \cdot x^{-4}

= (36 \cdot 4) \cdot x^{7-4}

= 144x^3

Katsayı

144

'tür.

Baştan 4. terim bilgisini kullanarak n değerini bul.

r=3 için üs sıfır olmalı: 1(n-3) - 2(3) = 0 ise n = 9.

Baştan (r+1). terim formülünde r=3 alınır. Sabit terimde x'in kuvveti 0 olmalıdır.

Bulunan n=9 değeri için x³'lü terimi verecek r değerini hesapla.

1(9-r) - 2r = 3 ise 9 - 3r = 3 buradan r = 2 bulunur.

Genel terim formülünde x'in kuvvetini 3'e eşitleyerek ilgili r değeri bulunur.

Katsayıyı hesapla.

C(9,2) . (1)^7 . (-2)^2 = 36 . 1 . 4 = 144.

Kombinasyon değeri ile terimlerin katsayılarının kuvvetleri çarpılır.

Binom açılımında genel terim

\binom{n}{r} a^{n-r} b^r

formülüyle bulunur.

Binom açılımında baştan

(r+1)

. terim formülü:

\binom{n}{r} a^{n-r} b^r

. Baştan 4. terim için r değerini 3 almalısın.

Önce sabit terim bilgisini kullanarak n sayısını bulmalısın. Sabit terimde x'in kuvveti 0 olur.

n=9 bulduktan sonra, x'in kuvvetinin 3 olmasını sağlayan r değerini bul ve katsayıyı hesapla.

(-2)

'nin kuvvetini almayı unutma.

Estimated Time:2m 30s

Question