Bir E örnek uzayında tanımlı A ve B olayları için aşağıdaki olasılık eşitlikleri verilmişt… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Bir $E$ örnek uzayında tanımlı $A$ ve $B$ olayları için aşağıdaki olasılık eşitlikleri verilmiştir:

P(A \setminus B) = \frac{1}{6}

P(B \setminus A) = \frac{1}{4}

P(A \cup B) = 3 \cdot P(A \cap B)

Buna göre, $A$ olayının gerçekleşme olasılığı ( $P(A)$ ) kaçtır?

\frac{3}{8}

Kümeler teorisine göre

P(A \cup B)

, üç ayrık kümenin olasılıkları toplamı olarak yazılabilir:

P(A \setminus B) + P(B \setminus A) + P(A \cap B)

. Verilen değerler ve

P(A \cup B) = 3 P(A \cap B)

eşitliği kullanıldığında, kesişim olasılığı

5/24

olarak bulunur.

P(A)

değeri,

P(A \setminus B)

ile kesişimin toplamı olduğundan

1/6 + 5/24 = 3/8

sonucuna ulaşılır.

Kümeler teorisindeki birleşim formülünü ayrık parçalar cinsinden ifade etme

P(A \cup B) = P(A \setminus B) + P(B \setminus A) + P(A \cap B)

Birleşim kümesi; yalnızca A'da olanlar, yalnızca B'de olanlar ve her ikisinde olanların (kesişim) toplamından oluşur.

Verilen değerleri formülde yerine koyarak kesişim olasılığını (

x

) bulma

3x = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} + x \Rightarrow 2x = \frac{5}{12} \Rightarrow x = \frac{5}{24}

P(A \cap B) = x

denilirse, soruda verilen

P(A \cup B) = 3x

eşitliği kullanılarak denklem çözülür.

A

olayının olasılığını hesaplama

P(A) = P(A \setminus B) + P(A \cap B) = \frac{1}{6} + \frac{5}{24} = \frac{4}{24} + \frac{5}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}

A

olayı,

A \setminus B

fark kümesi ile

A \cap B

kesişim kümesinin birleşimidir.

Olasılık Fonksiyonu ve Küme İşlemleri İlişkisi

Question