Examkin

Question

Difficulty: MediumMutlak Değer

xx ve yy sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

∣x−y∣=∣x∣+∣y∣ |x - y| = |x| + |y|
∣x∣=−x |x| = -x
olduğuna göre, ∣x−y∣+∣2x∣−∣y∣x \frac{|x - y| + |2x| - |y|}{x}

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. -3Answer
  2. B
    -1
  3. C
    1
  4. D
    3
  5. E
    5

Answer

İfadenin değeri -3'tür.
Verilen ∣x∣=−x|x| = -x şartından x<0x < 0 olduğu, ∣x−y∣=∣x∣+∣y∣|x-y| = |x| + |y| şartından ise xx ile yy sayılarının zıt işaretli olduğu anlaşılır. Bu durumda xx negatif ise yy pozitif olmalıdır. Bu işaretlere göre mutlak değerli terimler dışarı çıkarılıp işlem yapıldığında pay kısmında −3x-3x elde edilir, paydadaki xx ile sadeleştiğinde sonuç −3-3 olur.

Step-by-Step Solution

1
xx sayısının işaretini belirleme
x<0x < 0
∣x∣=−x|x| = -x eşitliği, mutlak değerin içindeki ifadenin negatif veya sıfır olduğunu gösterir. Soruda xx sıfırdan farklı dendiği için x<0x < 0 olmalıdır.
2
yy sayısının işaretini belirleme
y>0y > 0
∣x−y∣=∣x∣+∣y∣|x - y| = |x| + |y| özelliği, xx ve yy sayılarının zıt işaretli veya en az birinin sıfır olduğunu belirtir. x<0x < 0 ve x,y≠0x, y \neq 0 olduğu için y>0y > 0 olmalıdır.
3
Mutlak değerli ifadeleri dışarı çıkarma
∣x−y∣=y−x|x - y| = y - x, ∣2x∣=−2x|2x| = -2x, ∣y∣=y|y| = y
x<0x < 0 ve y>0y > 0 olduğu için x−y<0x - y < 0 (negatif), 2x<02x < 0 (negatif) ve y>0y > 0 (pozitif) olur. Mutlak değer içi negatifse işaret değiştirerek, pozitifse aynen çıkar.
4
İfadeyi sadeleştirme
−3-3
(y−x)+(−2x)−yx=−3xx=−3\frac{(y - x) + (-2x) - y}{x} = \frac{-3x}{x} = -3 işlemiyle sonuca ulaşılır.

Key Concept

Mutlak değerin dışarı çıkarılması kuralı (∣a∣=−a|a| = -a ise a≤0a \leq 0) ve üçgen eşitsizliğinin özel durumu (∣x−y∣=∣x∣+∣y∣|x-y| = |x|+|y| ise x⋅y≤0x \cdot y \leq 0).

Hints

1
∣x∣=−x|x| = -x bilgisini kullanarak xx sayısının işaretini belirleyin.
2
∣x−y∣=∣x∣+∣y∣|x-y| = |x| + |y| eşitliği, sayı doğrusu üzerinde xx ve yy noktalarının başlangıç noktasının (0) farklı taraflarında olduğunu söyler.
3
x<0x < 0 ve y>0y > 0 olduğuna göre x−yx - y ifadesinin işaretini belirleyip mutlak değerden çıkarın.

Practice More

Benzer bir soru olarak, eşitsizlik içeren mutlak değer sistemlerini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Sayı değerleri vererek kontrol edebilirsiniz. Örneğin; x=−1x = -1 ve y=1y = 1 seçilirse tüm şartlar sağlanır. Bu değerleri ifadede yerine yazdığınızda sonucu doğrudan bulabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Mutlak Değer

More questions from this topic