Examkin

Question

Difficulty: MediumFonksiyon Tanımı ve Değer Bulma
ff doğrusal bir fonksiyon olmak üzere,
f(x−1)+f(2x)=9x−2f(x-1) + f(2x) = 9x - 2
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, f(4)f(4) değeri kaçtır?
  1. A
    1111
  2. B
    232\frac{23}{2}
  3. C
    1212
  4. 252\frac{25}{2}Answer
  5. E
    1313

Answer

Fonksiyonun kuralı f(x)=3x+12f(x) = 3x + \frac{1}{2} olarak bulunur ve buradan f(4)=252f(4) = \frac{25}{2} elde edilir.
Doğrusal fonksiyonun genel formu f(x)=ax+bf(x) = ax + b olarak kabul edilip verilen eşitlikte yerine yazıldığında, 3ax−a+2b=9x−23ax - a + 2b = 9x - 2 özdeşliği elde edilir. Burada xx li terimlerin katsayılarından a=3a=3 ve sabit terimlerin eşitliğinden b=1/2b=1/2 bulunur. Sonuç olarak f(4)=3⋅4+1/2=12,5f(4) = 3 \cdot 4 + 1/2 = 12,5 yani 25/225/2 değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
ff doğrusal bir fonksiyon olduğu için kuralı f(x)=ax+bf(x) = ax + b şeklinde tanımlanır.
f(x)=ax+bf(x) = ax + b
Doğrusal fonksiyonlar her zaman birinci dereceden bir polinom şeklindedir.
2
f(x−1)f(x-1) ve f(2x)f(2x) ifadeleri xx cinsinden yazılır.
f(x−1)=a(x−1)+b=ax−a+bf(x-1) = a(x-1) + b = ax - a + b ve f(2x)=a(2x)+b=2ax+bf(2x) = a(2x) + b = 2ax + b
Verilen eşitlikte yerine koyabilmek için temel fonksiyon değerleri oluşturulur.
3
Bu iki ifade toplanarak verilen 9x−29x - 2 ifadesine eşitlenir.
(ax−a+b)+(2ax+b)=3ax−a+2b=9x−2(ax - a + b) + (2ax + b) = 3ax - a + 2b = 9x - 2
Eşitliğin her iki tarafındaki katsayıların birbirine eşit olması gerekir.
4
Katsayı eşitlemesi yapılarak aa ve bb değerleri bulunur.
3a=9⇒a=33a = 9 \Rightarrow a = 3 ve −3+2b=−2⇒2b=1⇒b=12-3 + 2b = -2 \Rightarrow 2b = 1 \Rightarrow b = \frac{1}{2}
xx li terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı eşitlenir.
5
Fonksiyon kuralında x=4x = 4 yazılır.
f(4)=3(4)+12=12+0,5=12,5=252f(4) = 3(4) + \frac{1}{2} = 12 + 0,5 = 12,5 = \frac{25}{2}
İstenen değer fonksiyon kuralında yerine konularak hesaplanır.

Key Concept

Doğrusal fonksiyonlarda katsayı eşitleme yöntemi ile değer bulma.

Hints

1
Doğrusal fonksiyonların f(x)=ax+bf(x) = ax + b biçiminde olduğunu hatırlayın.
2
f(x−1)f(x-1) ifadesini bulmak için ax+bax + b kalıbında xx gördüğünüz yere (x−1)(x-1) yazın.
3
Eşitliğin her iki tarafındaki xx li terimleri ve sabit sayıları birbirine eşitleyerek aa ve bb bilinmeyenlerini bulun.

Practice More

Benzer bir mantıkla f(x)+f(x+1)=4x+6f(x) + f(x+1) = 4x + 6 eşitliğini sağlayan fonksiyon için f(2)f(2) değerini hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Eşitlikte xx yerine farklı değerler vererek ff değerleri arasında bir sistem kurulabilir. Örneğin x=1x=1 için f(0)+f(2)=7f(0) + f(2) = 7 ve x=0x=0 için f(−1)+f(0)=−2f(-1) + f(0) = -2 denklemleri elde edilir, ancak doğrusal fonksiyon tanımını kullanmak daha hızlı sonuç verir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Tanımı ve Değer Bulma

More questions from this topic