Examkin

Question

Difficulty: HardSayısal Akıl Yürütme Problemleri

Bir kamu kurumunun strateji geliştirme dairesinde yürütülen beş farklı proje (I, II, III, IV ve V) için bütçe dağılımı yapılacaktır. Toplam bütçenin 90 bin TL olduğu ve her projeye farklı bir tam sayı değerinde bütçe ayrıldığı bu planlamada, aşağıdaki kurallar uygulanmaktadır:

* IV. projenin bütçesi, dağıtılan bütçeler arasındaki en düşük değerdir.
* II. projenin bütçesi, IV. projenin bütçesinden 5 bin TL fazladır.
* III. projenin bütçesi, I. ve V. projelerin bütçelerinin aritmetik ortalamasına eşittir.
* I. projenin bütçesi, V. projenin bütçesinden büyüktür.

Buna göre, I. projeye ayrılabilecek bütçe en fazla kaç bin TL'dir?

  1. A
    44
  2. B
    50
  3. 51Answer
  4. D
    52
  5. E
    53

Answer

I. projeye ayrılabilecek en fazla bütçe 51 bin TL'dir.
Verilen kısıtlar altında I. projenin bütçesini maksimize etmek için diğer tüm bütçeler (özellikle IV ve V) mümkün olan en küçük değerlerde tutulmalıdır. Denklem sisteminden IV=2 ve III=27 bulunur. Farklılık kuralı gereği V en az 3 olabilir, bu da I'in en fazla 51 olmasını sağlar.

Step-by-Step Solution

1
Verilenleri matematiksel ifadelere dönüştür.
Toplam = 90, Değerler: {I, II, III, IV, V} (Hepsi farklı tam sayı). Denklem 1: II = IV + 5. Denklem 2: III = (I + V) / 2 => I + V = 2·III.
Sözel kısıtları cebirsel eşitliklere çevirerek çözüm uzayını daraltmak gerekir.
2
Tüm değişkenleri ana toplam denkleminde birleştir.
(I + V) + II + III + IV = 90 => (2·III) + (IV + 5) + III + IV = 90 => 3·III + 2·IV + 5 = 90 => 3·III + 2·IV = 85.
Değişken sayısını azaltarak III ve IV arasındaki temel ilişkiyi bulmak gerekir.
3
I'in maksimize edilmesi için strateji belirle ve IV için en küçük uygun değeri dene.
I = 2·III - V. I'in en çok olması için III en büyük, V en küçük olmalıdır. III'ün en büyük olması için IV en küçük seçilmelidir. IV en az 1 olabilir mi? 3·III + 2(1) = 87 => III = 29. IV en az 2 olabilir mi? 3·III + 2(2) = 81 => III = 27.
Bütçeler tam sayı olduğu için 85 - 2·IV ifadesi 3'e tam bölünmelidir. IV=1 için bölünür, IV=2 için bölünür. IV en küçük (min) değer olduğu için her iki durumu incelemeliyiz.
4
IV = 1 durumunu kurallara göre kontrol et.
Eğer IV=1 ise; III=29, II = 1+5=6. I+V = 58. V, IV'ten büyük olmalı (IV en küçük). V en az 2 olabilir mi? Hayır, II=6, III=29, IV=1. V=2 seçersek I=56. Küme: {56, 6, 29, 1, 2}. Bu geçerli bir küme. Ancak soru 'IV en düşük' diyor. Burada V(2) > IV(1) sağlanır. Bir dakika, IV=2 denemesine geçelim, belki daha büyük bir I çıkar?
Maksimum I değerini aradığımız için alternatif senaryoları kıyaslamalıyız. (Not: Aslında IV küçüldükçe III büyür, bu da I'i büyütür. Ancak 85-2(1)=83 bölünmez! 3. adımda işlem hatası kontrolü: 85-2=83, 3'e bölünmez. IV=1 olamaz. 85-4=81, 3'e bölünür. IV=2 olmalı.)
5
IV = 2 durumunu (doğru başlangıç) analiz et.
3·III = 85 - 2(2) = 81 => III = 27. II = 2 + 5 = 7. I + V = 54. Mevcut sayılar: {IV=2, II=7, III=27}.
IV=1 matematiksel olarak tam sayı vermediği için en küçük IV değeri 2'dir.
6
I değerini maksimize etmek için V'yi minimize et.
I = 54 - V. V sayısı IV(2)'den büyük olmalı ve kümedeki {2, 7, 27} sayılarından farklı olmalı. En küçük V = 3 olabilir. Kontrol: 3, kümedeki diğer sayılardan farklı mı? Evet. O halde I = 54 - 3 = 51.
Farklılık kuralı (distinct) ve IV'ün en küçük olması kuralı V'nin alabileceği alt sınırı belirler.
7
Bulunan değerlerin sağlamasını yap.
Küme: {51, 7, 27, 2, 3}. Hepsi farklı mı? Evet. En küçük 2 mi? Evet. Toplam 90 mı? 51+7+27+2+3=90. Evet. III ortalama mı? (51+3)/2=27. Evet.
Çözümün tüm kısıtları sağladığından emin olunmalıdır.

Key Concept

Denklem Kurma ve Eşitsizlik Analizi

Hints

1
Sorudaki tüm sözel ifadeleri matematiksel eşitliklere dökün. Özellikle 'III. projenin bütçesi, I. ve V. projelerin ortalamasıdır' ifadesi size kilit bir denklem verecektir: I + V = 2·III.
2
Tüm değişkenleri toplam formülünde (I+II+III+IV+V=90) yerine koyarak, sadece III ve IV bilinmeyenlerinin kaldığı bir denklem elde edin: 3·III + 2·IV = 85. I'in en büyük olması için III'ün mümkün olduğunca büyük olması gerekir.
3
3·III + 2·IV = 85 denkleminde, III'ü maksimize etmek için IV'ü minimize edin. IV en az kaç olabilir? Bulduğunuz IV değeri ile V'nin 'farklı tam sayı' olma kuralını kontrol ederek I'i hesaplayın.

Practice More

Benzer mantıkla, bütçelerin en küçük olduğu durumu veya III. projenin alabileceği değerler toplamını soran bir soru çözebilirsiniz.

Alternative Method

IV değeri üzerinden deneme yanılma yapmak yerine, I = 2·III - V formülünde III'ü tek başına bırakıp (III = (85 - 2·IV)/3) doğrudan I fonksiyonunu IV ve V cinsinden yazarak analiz edilebilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Sayısal Akıl Yürütme Problemleri

More questions from this topic