Examkin

Question

Difficulty: MediumFaktöriyel (Sayma)

Bir kütüphane rafına birbirinden farklı 4 matematik kitabı ve nn tane Türkçe kitabı yan yana dizilecektir. Matematik kitaplarının tamamının bir arada olması koşuluyla bu kitaplar 2880 farklı şekilde dizilebildiğine göre, nn kaçtır?

  1. A
    3
  2. 4Answer
  3. C
    5
  4. D
    6
  5. E
    2

Answer

Kitapların dizilim koşulları dikkate alındığında Türkçe kitaplarının sayısı 4 olarak bulunur.
Matematik kitaplarının bir arada olması istendiği için bu 4 kitap tek bir paket gibi düşünülür. Bu paket ve nn tane Türkçe kitabı toplam n+1n+1 birim oluşturur. Bu birimlerin dizilimi (n+1)!(n+1)! ve paketin içindeki matematik kitaplarının kendi aralarındaki dizilimi 4!4! (yani 24) kadardır. Toplam dizilim olan (n+1)!⋅24=2880(n+1)! \cdot 24 = 2880 denkleminden (n+1)!=120(n+1)! = 120 bulunur. 5!=1205! = 120 olduğu için n+1=5n+1=5 ve dolayısıyla Türkçe kitaplarının sayısı 4 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Koşula bağlı nesne sayısını belirleme
4 matematik kitabı 'bir arada' olacağı için bu kitaplar 1 blok olarak kabul edilir. Bu blok ve nn tane Türkçe kitabı ile birlikte toplam n+1n+1 tane nesne oluşur.
Yan yana olması istenen nesneler tek bir birim gibi düşünülmelidir.
2
Dizilim formülünü oluşturma
Toplam dizilim sayısı: (n+1)!×4!=2880(n+1)! \times 4! = 2880.
n+1n+1 nesnenin kendi arasındaki dizilimi (n+1)!(n+1)! ve blok içindeki 4 kitabın kendi arasındaki dizilimi 4!4! kadardır.
3
Denklemi çözme
(n+1)!×24=2880⇒(n+1)!=120(n+1)! \times 24 = 2880 \Rightarrow (n+1)! = 120.
4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 değerine eşittir.
4
Bilinmeyeni bulma
5!=1205! = 120 olduğu için n+1=5n+1 = 5 ve buradan n=4n = 4 elde edilir.
Faktöriyel tanımı gereği çarpımı 120 olan ardışık tam sayılar dizisi 5'te biter.

Key Concept

Faktöriyel kullanarak belirli nesnelerin bir arada bulunduğu dizilim (permütasyon) hesaplamaları.

Hints

1
Bir arada olması istenen kitapları tek bir nesne (blok) gibi düşünerek toplam nesne sayısını hesaplayın.
2
Toplam dizilimi bulurken hem bu bloğun diğer kitaplarla yer değiştirmesini hem de blok içindeki kitapların kendi aralarındaki yer değiştirmesini hesaba katın.
3
(n+1)!⋅4!=2880(n+1)! \cdot 4! = 2880 denklemini kurun. 4!=244! = 24 olduğunu kullanarak (n+1)!(n+1)! değerini yalnız bırakın.

Practice More

Faktöriyel kavramını pekiştirmek için 'n nesnenin yan yana gelmemesi' durumlarını içeren soruları inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Şıklardan giderek deneme yapılabilir. Örneğin n=4n=4 için toplam 4+1=54+1=5 nesne oluşur. 5!⋅4!=120⋅24=28805! \cdot 4! = 120 \cdot 24 = 2880 sonucuna ulaşılarak doğru cevap doğrulanabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Sayma)

More questions from this topic