Examkin

Question

Difficulty: MediumÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bir ABCABC üçgeninde kenar uzunlukları ∣BC∣=7|BC| = 7 cm, ∣AC∣=(x+2)|AC| = (x+2) cm ve ∣AB∣=(2x−1)|AB| = (2x-1) cm olarak verilmiştir.

m(A^)<m(B^)<m(C^)m(\widehat{A}) < m(\widehat{B}) < m(\widehat{C})

olduğuna göre, xx'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    21
  2. B
    24
  3. C
    27
  4. 30Answer
  5. E
    40

Answer

Doğru cevap 30'dur.
Verilen açı sıralaması m(A^)<m(B^)<m(C^)m(\widehat{A}) < m(\widehat{B}) < m(\widehat{C}) olduğuna göre, karşılarındaki kenarlar da ∣BC∣<∣AC∣<∣AB∣|BC| < |AC| < |AB| şeklinde sıralanmalıdır. Buradan 7<x+2<2x−17 < x+2 < 2x-1 eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde x>5x > 5 bulunur. Ayrıca üçgen eşitsizliğine göre 7+(x+2)>2x−17 + (x+2) > 2x-1 şartından x<10x < 10 elde edilir. İki şartın kesişimi olan 5<x<105 < x < 10 aralığındaki tam sayıların (6, 7, 8, 9) toplamı 30'dur.

Step-by-Step Solution

1
Açı ve kenar arasındaki ilişkiyi kurma
∣BC∣<∣AC∣<∣AB∣|BC| < |AC| < |AB| yani 7<x+2<2x−17 < x+2 < 2x-1
Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.
2
Elde edilen eşitsizlik sistemini çözme
7<x+2⇒x>57 < x+2 \Rightarrow x > 5 ve x+2<2x−1⇒x>3x+2 < 2x-1 \Rightarrow x > 3. Ortak çözüm: x>5x > 5.
Kenarlar arasındaki sıralamanın sağlanması için xx değişkeninin alt sınırı belirlenmelidir.
3
Üçgen eşitsizliğini uygulama
(x+2)+7>2x−1⇒x+9>2x−1⇒10>x(x+2) + 7 > 2x-1 \Rightarrow x+9 > 2x-1 \Rightarrow 10 > x.
Bir üçgenin oluşabilmesi için herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır.
4
xx için uygun tam sayı değerlerini belirleme ve toplama
5<x<105 < x < 10 aralığında x=6,7,8,9x = 6, 7, 8, 9 değerleri bulunur. Toplam: 6+7+8+9=306+7+8+9 = 30.
Hem açı-kenar sıralamasını hem de üçgen eşitsizliğini sağlayan tam sayılar toplanır.

Key Concept

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları ve Üçgen Eşitsizliği

Hints

1
Üçgende en büyük açının karşısında en uzun kenar bulunur. Açıların sıralamasını kenarların sıralamasına dönüştürerek başlayın.
2
7<x+2<2x−17 < x+2 < 2x-1 eşitsizliğini iki parça halinde çözerek xx için bir alt sınır belirleyin.
3
Sadece kenar sıralaması yetmez; üçgenin çizilebilmesi için herhangi iki kenarın toplamının üçüncüden büyük olması gerektiğini (Üçgen Eşitsizliği) unutmayın.

Practice More

Benzer bir soruda 'geniş açılı üçgen' şartı verildiğinde Pisagor bağıntısının eşitsizlik halini (a² + b² < c²) kullanmanız gerekecektir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

More questions from this topic