Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Kenar uzunlukları ∣AB∣=8|AB| = 8 cm ve ∣AC∣=12|AC| = 12 cm olan ABCABC üçgeninde, AA köşesinden [BC][BC] kenarına çizilen kenarortay uzunluğu ∣AD∣=x|AD| = x cm'dir.

m(BAC^)>90∘m(\widehat{BAC}) > 90^\circ olduğuna göre, xx tam sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    17
  2. 25Answer
  3. C
    33
  4. D
    42
  5. E
    60

Answer

Kenarortay uzunluğunun alabileceği değerler toplamı 25'tir.
Doğru cevap, hem temel üçgen eşitsizliğini (2<x<102 < x < 10) hem de geniş açı kısıtlamasını (x2<52x^2 < 52) sağlayan tam sayıların (3, 4, 5, 6, 7) toplamıdır. Geniş açı şartı, kenarortayın uzunluğunu sınırlar.

Step-by-Step Solution

1
Kenarortay uzunluğunu analiz etmek için üçgeni paralelkenara tamamlama yöntemini uygula.
ADAD kenarortayını kendi uzunluğu kadar (xx) uzatıp EE noktası elde edilir. ABECABEC bir paralelkenar olur.
Bu yöntem, kenarortay uzunluğunu (xx) bir üçgenin kenarı haline getirerek (2x2x) hesaplamayı kolaylaştırır.
2
Oluşan ACEACE üçgeninde kenar uzunluklarını ve üçgen eşitsizliğini belirle.
ACEACE üçgeninin kenarları 1212, 88 ve 2x2x olur. Üçgen eşitsizliğinden: 12−8<2x<12+8⇒4<2x<20⇒2<x<1012-8 < 2x < 12+8 \Rightarrow 4 < 2x < 20 \Rightarrow 2 < x < 10.
Üçgenin oluşabilmesi için temel kenar bağıntıları sağlanmalıdır.
3
Açı koşulunun (m(A^)>90∘m(\widehat{A}) > 90^\circ) kenarortay üzerindeki etkisini hesapla.
Paralelkenar özelliğinden, 2(AB2+AC2)=BC2+(2x)22(AB^2 + AC^2) = BC^2 + (2x)^2. AA açısı geniş olduğu için BC2>AB2+AC2BC^2 > AB^2 + AC^2 olur. Bu durumda kenarortay kısalır: x2<82+1224=2084=52x^2 < \frac{8^2 + 12^2}{4} = \frac{208}{4} = 52.
Geniş açı karşısındaki kenar uzarken, diğer köşegen (kenarortayın iki katı) kısalır.
4
Elde edilen iki eşitsizliği birleştir ve uygun tam sayıları topla.
x>2x > 2 ve x2<52x^2 < 52 (yani x≈7,2x \approx 7,2). Ortak çözüm: 2<x<522 < x < \sqrt{52}. Tam sayılar: 3, 4, 5, 6, 7. Toplam: 3+4+5+6+7=253+4+5+6+7 = 25.
Her iki koşulu da sağlayan tam sayılar çözüm kümesini oluşturur.

Key Concept

Bir üçgende açı genişledikçe karşısındaki kenar büyürken, o açıdan inen kenarortay kısalır. Kenarortay (VaV_a) ile kenarlar (b,cb, c) arasındaki ilişki: m(A^)>90∘⇒Va<b2+c22m(\widehat{A}) > 90^\circ \Rightarrow V_a < \frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}.

Hints

1
ADAD kenarortayını, kendi uzunluğu kadar dışarıya doğru uzatarak bir paralelkenar oluşturmayı deneyin.
2
Oluşturduğunuz paralelkenarda kenarlar 8 ve 12 olacaktır. Köşegenin yarısı olan xx için üçgen eşitsizliğini yazın.
3
AA açısı 90∘90^\circ olsaydı x2=82+1224−a24x^2 = \frac{8^2 + 12^2}{4} - \frac{a^2}{4} formülü yerine, doğrudan 2x=b2+c22x = \sqrt{b^2+c^2} sınırını düşünün. Geniş açı olduğunda xx, 52\sqrt{52}'den küçük olmalıdır.

Practice More

Benzer bir soruyu dar açı kısıtlaması ile çözerek farkı gözlemleyin.

Alternative Method

Kenarortay teoremi formülü üzerinden: 2x2+a22=b2+c22x^2 + \frac{a^2}{2} = b^2 + c^2. Açı geniş olduğundan a2>b2+c2a^2 > b^2 + c^2 olur. Bu eşitsizliği formülde yerine koyarak xx için üst sınırı bulabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

More questions from this topic