Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel (Sayma)

A=6!⋅7!⋅8!A = 6! \cdot 7! \cdot 8! sayısı veriliyor.

Buna göre, AA sayısını tam bölen en büyük faktöriyelli sayı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    9!
  2. 10!Answer
  3. C
    11!
  4. D
    12!
  5. E
    21!

Answer

A sayısını tam bölen en büyük faktöriyelli sayı 10! ifadesidir.
Verilen A=6!⋅7!⋅8!A = 6! \cdot 7! \cdot 8! ifadesinin seçeneklerdeki faktöriyellere bölünebilirliği test edildiğinde; 10! seçeneği için ifadenin 6!⋅7!⋅8!10!=720⋅7!90=8⋅7!\frac{6! \cdot 7! \cdot 8!}{10!} = \frac{720 \cdot 7!}{90} = 8 \cdot 7! şeklinde tam sayı olduğu görülür. Ancak bir sonraki seçenek olan 11! için sonuç 11 asal çarpanı sadeleşmediği için tam sayı çıkmaz. Bu nedenle tam bölen en büyük sayı 10!'dir.

Step-by-Step Solution

1
A sayısının verilen faktöriyel seçeneklerine bölünebilirliği kontrol edilir. İstenen durum An!\frac{A}{n!} ifadesinin tam sayı olmasıdır.
İfade: 6!⋅7!⋅8!n!\frac{6! \cdot 7! \cdot 8!}{n!}
Bir sayının başka bir sayıya tam bölünmesi için bölümün tam sayı olması gerekir.
2
Önce seçenekler arasındaki en makul aday olan 10! denenir. 10! ifadesi 10⋅9⋅8!10 \cdot 9 \cdot 8! olarak açılır ve sadeleştirme yapılır.
6!⋅7!⋅8!10!=6!⋅7!⋅8!10⋅9⋅8!=6!⋅7!90\frac{6! \cdot 7! \cdot 8!}{10!} = \frac{6! \cdot 7! \cdot 8!}{10 \cdot 9 \cdot 8!} = \frac{6! \cdot 7!}{90}
Büyük faktöriyelleri sadeleştirmek işlemi kolaylaştırır.
3
Kalan ifadenin 90'a bölünüp bölünmediği kontrol edilir. 6!=7206! = 720 olduğu hatırlanır.
720⋅7!90=8⋅7!\frac{720 \cdot 7!}{90} = 8 \cdot 7!
720 sayısı 90'a tam bölünür (Bölüm 8'dir). Sonuç bir tam sayıdır, yani 10! böler.
4
Daha büyük bir faktöriyel olan 11!'in bölüp bölmediği kontrol edilir.
6!⋅7!⋅8!11!=A10!⋅11=8⋅7!11\frac{6! \cdot 7! \cdot 8!}{11!} = \frac{A}{10! \cdot 11} = \frac{8 \cdot 7!}{11}
Önceki adımda bulduğumuz sonucu 11'e bölerek ilerleyebiliriz.
5
11 sayısının asal olduğu ve pay kısmındaki çarpanlarda (8 ve 7!) 11 çarpanının bulunmadığı tespit edilir.
11 asal sayısı 7!=50407! = 5040 sayısını bölmez. Bu nedenle 11! A sayısını tam bölmez.
Asal çarpan kontrolü kesin sonuç verir. 11! bölünmüyorsa daha büyükleri de bölünmez.

Key Concept

Faktöriyelli sayılarda bölünebilme ve sadeleştirme kuralları.

Hints

1
Bölme işlemini kesir olarak yazın: 6!⋅7!⋅8!n!\frac{6! \cdot 7! \cdot 8!}{n!}.
2
Paydadaki faktöriyeli, paydaki en büyük faktöriyel olan 8!8! cinsinden açarak sadeleştirme yapın (Örn: 10!=10⋅9⋅8!10! = 10 \cdot 9 \cdot 8!).
3
Sadeleştirme sonrası kalan sayıların birbirine bölünüp bölünmediğini kontrol edin. 6!=7206! = 720 olduğunu hatırlayın.

Practice More

İçinde asal çarpan barındıran faktöriyel sadeleştirme sorularını inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Sayma)

More questions from this topic