Examkin

Question

Difficulty: MediumKöklü İfadeler
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x+9+x=9 \sqrt{x+9} + \sqrt{x} = 9
eşitliğini sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    9
  2. 16Answer
  3. C
    25
  4. D
    36
  5. E
    49

Answer

Denklemi sağlayan değer 16'dır.
Verilen denklemde köklü ifadenin yalnız bırakılıp karesinin alınması veya eşlenik (iki kare farkı) yönteminin kullanılmasıyla doğru sonuca ulaşılır. Bulunan değerin denklemi sağladığı görülür.

Step-by-Step Solution

1
Eşitlikteki köklü ifadelerden birini yalnız bırakın.
x+9=9−x\sqrt{x+9} = 9 - \sqrt{x}
Kare alma işlemini daha kolay uygulayabilmek için köklü ifadenin izole edilmesi gerekir.
2
Eşitliğin her iki tarafının karesini alın.
(x+9)2=(9−x)2(\sqrt{x+9})^2 = (9 - \sqrt{x})^2 ⇒x+9=81−18x+x\Rightarrow x + 9 = 81 - 18\sqrt{x} + x
Köklü ifadelerden kurtulmak için kare alma işlemi uygulanır. Sağ tarafta tam kare özdeşliği (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 kullanılır.
3
Elde edilen denklemi sadeleştirerek bilinmeyeni bulun.
9=81−18x9 = 81 - 18\sqrt{x} ⇒18x=72\Rightarrow 18\sqrt{x} = 72 ⇒x=4\Rightarrow \sqrt{x} = 4 ⇒x=16\Rightarrow x = 16
Sadeleştirme sonucunda basit bir köklü denklem elde edilir ve çözüm kümesi bulunur.
4
Bulunan değeri orijinal denklemde kontrol edin.
16+9+16=25+4=5+4=9\sqrt{16+9} + \sqrt{16} = \sqrt{25} + 4 = 5 + 4 = 9 (Doğru)
Köklü denklemlerde bulunan kökler bazen yalancı kök olabilir, bu yüzden sağlaması yapılmalıdır.

Key Concept

Köklü Denklemlerin Çözümü

Hints

1
Denklemdeki köklü ifadelerden birini eşitliğin diğer tarafına atarak işe başlayın.
2
x+9=9−x\sqrt{x+9} = 9 - \sqrt{x} yazdıktan sonra her iki tarafın karesini alarak köklerden kurtulmaya çalışın.
3
Kare alma işleminden sonra x+9=81−18x+xx + 9 = 81 - 18\sqrt{x} + x eşitliğini sadeleştirerek x\sqrt{x} değerini bulun.

Practice More

2x+5−2x=1\sqrt{2x+5} - \sqrt{2x} = 1 denklemini çözünüz.

Alternative Method

Eşlenik Yöntemi: x+9−x=A\sqrt{x+9} - \sqrt{x} = A diyelim. Verilen denklemle taraf tarafa çarparsak: (x+9+x)⋅(x+9−x)=9⋅A(\sqrt{x+9} + \sqrt{x}) \cdot (\sqrt{x+9} - \sqrt{x}) = 9 \cdot A. İki kare farkından (x+9)−x=9A⇒9=9A⇒A=1(x+9) - x = 9A \Rightarrow 9 = 9A \Rightarrow A=1. Taraf tarafa toplama ile 2x+9=10⇒x+9=5⇒x=162\sqrt{x+9} = 10 \Rightarrow \sqrt{x+9}=5 \Rightarrow x=16 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Köklü İfadeler

More questions from this topic