Examkin

Question

Difficulty: MediumFonksiyon Tanımı ve Değer Bulma
Bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
x⋅f(x+1)=(x+2)⋅f(x)x \cdot f(x+1) = (x+2) \cdot f(x)
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=2f(1) = 2 olduğuna göre, f(4)f(4) değeri kaçtır?

  1. A
    10
  2. B
    12
  3. 20Answer
  4. D
    24
  5. E
    30

Answer

İşlemler sonucunda f(4) değeri 20 olarak bulunur.
Verilen indirgemeli bağıntıda x yerine sırasıyla 1, 2 ve 3 değerleri yazılarak her adımda bir sonraki fonksiyon değeri elde edilir. f(1)=2f(1)=2 iken f(2)=6f(2)=6, f(3)=12f(3)=12 ve son olarak f(4)=20f(4)=20 sonucuna ulaşılır. Bu süreç, fonksiyonun tanım kümesindeki elemanların değer kümesindeki karşılıklarını adım adım bulma prensibine dayanır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemde x=1x=1 yazılarak f(2)f(2) değeri hesaplanır.
1⋅f(2)=(1+2)⋅f(1)⇒f(2)=3⋅2=61 \cdot f(2) = (1+2) \cdot f(1) \Rightarrow f(2) = 3 \cdot 2 = 6
Fonksiyonun bir sonraki değerini bulmak için başlangıç değerini kullanmak gerekir.
2
Elde edilen f(2)f(2) değeri kullanılarak x=2x=2 için f(3)f(3) değeri hesaplanır.
2⋅f(3)=(2+2)⋅f(2)⇒2⋅f(3)=4⋅6=24⇒f(3)=122 \cdot f(3) = (2+2) \cdot f(2) \Rightarrow 2 \cdot f(3) = 4 \cdot 6 = 24 \Rightarrow f(3) = 12
Ardışık değerleri bulmaya devam ederek hedef değere yaklaşılır.
3
Elde edilen f(3)f(3) değeri kullanılarak x=3x=3 için f(4)f(4) değeri hesaplanır.
3⋅f(4)=(3+2)⋅f(3)⇒3⋅f(4)=5⋅12=60⇒f(4)=203 \cdot f(4) = (3+2) \cdot f(3) \Rightarrow 3 \cdot f(4) = 5 \cdot 12 = 60 \Rightarrow f(4) = 20
Soru tarafından istenen f(4) değerine ulaşılır.

Key Concept

Fonksiyonlarda değer bulma ve indirgemeli (recursive) bağıntıların çözümü.

Hints

1
Eşitlikte x yerine bilinen değer olan f(1)'i kullanmak için x=1 yazarak başlayın.
2
Her adımda bulduğunuz fonksiyon değerini, bir sonraki x değeri için denklemde yerine koyun.
3
f(4) değerine ulaşmak için x=1, x=2 ve x=3 değerlerini sırayla kullanmanız gerekmektedir.

Practice More

Benzer yapıda olan f(x+1) = x.f(x) biçimindeki faktöriyel tipi fonksiyon sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Bağıntıyı f(x+1)/f(x) = (x+2)/x şeklinde yazarak f(4)/f(1) oranını f(4)/f(3) * f(3)/f(2) * f(2)/f(1) çarpımı ile bulabilirsiniz: (5/3) * (4/2) * (3/1) = 10. f(1)=2 olduğundan f(4) = 10 * 2 = 20 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Tanımı ve Değer Bulma

More questions from this topic