Bir E örnek uzayında tanımlı A ve B olayları ayrık (ayrık kümeler) iki olaydır. Bu olayların olasılıkları x gerçel sayısı türünden, P(A) = 3x - \frac{1}{4} P(B) = \frac{1}{2} - x\neşitlikleri ile verilmiştir. Buna göre, x değerinin alabileceği en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

$\left[\frac{1}{12}, \frac{3}{8}\right]$

Bir E örnek uzayında tanımlı A ve B olayları ayrık (ayrık kümeler) iki olaydır. Bu olaylar… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Bir $E$ örnek uzayında tanımlı $A$ ve $B$ olayları ayrık (ayrık kümeler) iki olaydır.

Bu olayların olasılıkları

x

gerçel sayısı türünden,

P(A) = 3x - \frac{1}{4}

P(B) = \frac{1}{2} - x

eşitlikleri ile verilmiştir.

Buna göre, $x$ değerinin alabileceği en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\left[\frac{1}{12}, \frac{5}{12}\right]$
$\left[\frac{1}{12}, \frac{3}{8}\right]$ Answer
C
$\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{8}\right]$
D
$\left[\frac{1}{12}, \frac{1}{2}\right]$
E
$\left[0, \frac{3}{8}\right]$

Answer

x değerinin en geniş aralığı [1/12, 3/8] kapalı aralığıdır.

Doğru cevap, üç temel kısıtlamanın kesişimidir: 1) A'nın olasılığı negatif olamaz ve 1'i geçemez, 2) B'nin olasılığı negatif olamaz ve 1'i geçemez, 3) A ve B ayrık olduğu için toplamları 1'i geçemez. Bu üç eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesi

[1/12, 3/8]

aralığını verir.

Step-by-Step Solution

Olasılık fonksiyonunun temel aksiyomlarından biri olan

0 \le P(A) \le 1

şartını

A

olayı için incele.

0 \le 3x - \frac{1}{4} \le 1 \Rightarrow \frac{1}{4} \le 3x \le \frac{5}{4} \Rightarrow x \in [\frac{1}{12}, \frac{5}{12}]

Herhangi bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasında olmalıdır.

0 \le P(B) \le 1

şartını

B

olayı için incele.

0 \le \frac{1}{2} - x \le 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \le -x \le \frac{1}{2} \Rightarrow x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]

B olayının olasılığı da geçerli bir olasılık değeri olmalıdır.

Ayrık olaylar için birleşim kuralını (

P(A \cup B) = P(A) + P(B) \le 1

) uygula.

(3x - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{2} - x) \le 1 \Rightarrow 2x + \frac{1}{4} \le 1 \Rightarrow 2x \le \frac{3}{4} \Rightarrow x \le \frac{3}{8}

Ayrık iki olayın olasılıkları toplamı, örnek uzayın olasılığını (1) geçemez.

Tüm şartları sağlayan ortak çözüm kümesini (kesişim aralığını) bul.

x \ge \frac{1}{12}

x \le \frac{5}{12}

x \ge -\frac{1}{2}

x \le \frac{1}{2}

x \le \frac{3}{8}

eşitsizliklerinin kesişimi:

[\frac{1}{12}, \frac{3}{8}]

x değeri tüm kısıtlamaları aynı anda sağlamalıdır.

Key Concept

Olasılık fonksiyonunun özellikleri:

0 \le P(E) \le 1

ve ayrık olaylar için

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Hints

Bir olayın olasılığı asla negatif olamaz ve 1'den büyük olamaz.

0 \le P(A) \le 1

eşitsizliğini kurun.

A

B

ayrık olaylar olduğu için, birleşimlerinin olasılığı toplamlarına eşittir ve bu toplam en fazla 1 olabilir.

Üç koşulu aynı anda sağlayan aralığı bulun: 1)

P(A) \ge 0

, 2)

P(B) \ge 0

, 3)

P(A) + P(B) \le 1

Practice More

Benzer bir soruda 'ayrık' yerine 'bağımsız' olaylar denseydi çözüm nasıl değişirdi?

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Topics

More questions from this topic