Examkin

Question

Difficulty: HardOlasılık Kavramları ve Fonksiyonu
Tam sayılar kümesinin bir alt kümesi olan E={x∈Z:∣x∣≤2}E = \{x \in \mathbb{Z} : |x| \le 2\} örnek uzayı üzerinde tanımlı bir PP olasılık fonksiyonu, her x∈Ex \in E için aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere;
P({x})=a⋅∣x∣+bP(\{x\}) = a \cdot |x| + b
biçiminde veriliyor.

P({0})=19P(\{0\}) = \frac{1}{9} olduğuna göre, P({x∈E:x≥1})P(\{x \in E : x \ge 1\}) olasılığı kaçtır?

  1. A
    29\frac{2}{9}
  2. B
    13\frac{1}{3}
  3. 49\frac{4}{9}Answer
  4. D
    59\frac{5}{9}
  5. E
    89\frac{8}{9}

Answer

49\frac{4}{9}
Olasılık fonksiyonunun en temel özelliği, örnek uzaydaki tüm elemanların olasılıkları toplamının 1 olmasıdır. E={−2,−1,0,1,2}E=\{-2, -1, 0, 1, 2\} kümesi için toplam olasılık yazıldığında aa katsayısı bulunur. Daha sonra istenen durum olan x=1x=1 ve x=2x=2 için fonksiyon değerleri toplanarak doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Örnek uzayını liste yöntemiyle yaz
E={−2,−1,0,1,2}E = \{-2, -1, 0, 1, 2\}
Mutlak değeri 2 veya 2'den küçük olan tam sayıları belirlemek için.
2
Verilen P({0})P(\{0\}) değerinden bb sabitini bul
P({0})=a⋅∣0∣+b=b=19P(\{0\}) = a \cdot |0| + b = b = \frac{1}{9}
Fonksiyondaki bilinmeyenlerden birini belirlemek için.
3
Olasılık aksiyomu gereği tüm olasılıkların toplamını 1'e eşitle ve aa değerini bul
∑P(x)=1  ⟹  P(−2)+P(−1)+P(0)+P(1)+P(2)=1\sum P(x) = 1 \implies P(-2)+P(-1)+P(0)+P(1)+P(2) = 1. Simetriden yararlanarak: 2(2a+b)+2(a+b)+b=1  ⟹  6a+5b=12(2a+b) + 2(a+b) + b = 1 \implies 6a + 5b = 1. b=1/9b=1/9 yerine konulursa 6a=1−5/9=4/9  ⟹  a=2276a = 1 - 5/9 = 4/9 \implies a = \frac{2}{27}.
Fonksiyonu tam olarak tanımlamak için.
4
İstenen olayın (x≥1x \ge 1) olasılığını hesapla
P(x≥1)=P(1)+P(2)=(a+b)+(2a+b)=3a+2bP(x \ge 1) = P(1) + P(2) = (a+b) + (2a+b) = 3a + 2b. Değerleri yerine koy: 3(227)+2(19)=627+29=29+29=493(\frac{2}{27}) + 2(\frac{1}{9}) = \frac{6}{27} + \frac{2}{9} = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}.
Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Bir örnek uzaydaki tüm ayrık olayların olasılıkları toplamı 1'dir (P(E)=1P(E)=1).

Hints

1
Önce örnek uzayı EE'nin elemanlarını açıkça yazınız. ∣x∣≤2|x| \le 2 şartını sağlayan kaç tane tam sayı var?
2
Bir örnek uzayda tanımlı olasılık fonksiyonu için, tüm noktaların olasılıkları toplamı ∑P(x)=1\sum P(x) = 1 olmalıdır. Bu eşitliği kullanarak aa sayısını bulunuz.
3
Simetriyi kullanabilirsiniz: ∣−2∣=∣2∣|-2|=|2| ve ∣−1∣=∣1∣|-1|=|1| olduğu için P(−2)=P(2)P(-2)=P(2) ve P(−1)=P(1)P(-1)=P(1)'dir. Toplam denkleminde b=1/9b=1/9 değerini yerine koyup aa'yı çekiniz.

Practice More

Benzer bir soruyu P(x)=k⋅x2P(x) = k \cdot x^2 fonksiyonu ile çözmeyi deneyin.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Olasılık Kavramları ve Fonksiyonu

More questions from this topic