Examkin

Question

Difficulty: MediumMutlak Değer
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
∣3x−6∣=∣x+10∣ |3x - 6| = |x + 10|
eşitliğini sağlayan farklı xx değerlerinin çarpımı kaçtır?
  1. A
    -16
  2. -8Answer
  3. C
    4
  4. D
    8
  5. E
    16

Answer

Eşitliği sağlayan xx değerlerinin çarpımı -8'dir.
Mutlak değerli iki ifadenin birbirine eşit olduğu durumda, içerideki ifadeler ya birbirine tam olarak eşittir ya da biri diğerinin ters işaretlisine eşittir. Birinci durumdan x=8x=8, ikinci durumdan ise x=−1x=-1 kökleri bulunur. Bu değerlerin çarpımı −8-8 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Mutlak değerli ifadelerin eşitliği kuralını uygulayın.
3x−6=x+103x - 6 = x + 10 veya 3x−6=−(x+10)3x - 6 = -(x + 10)
∣a∣=∣b∣|a| = |b| eşitliği, a=ba = b veya a=−ba = -b durumlarını gerektirir.
2
Birinci durumu (a=ba = b) çözerek ilk kökü bulun.
3x−x=10+6⇒2x=16⇒x=83x - x = 10 + 6 \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8
Eşitliğin her iki tarafındaki ifadelerin aynı işaretli olduğu durumu inceleriz.
3
İkinci durumu (a=−ba = -b) çözerek diğer kökü bulun.
3x−6=−x−10⇒3x+x=−10+6⇒4x=−4⇒x=−13x - 6 = -x - 10 \Rightarrow 3x + x = -10 + 6 \Rightarrow 4x = -4 \Rightarrow x = -1
Eşitliğin her iki tarafındaki ifadelerin zıt işaretli olduğu durumu inceleriz.
4
Elde edilen farklı xx değerlerini çarpın.
8×(−1)=−88 \times (-1) = -8
Soruda bizden istenen köklerin çarpımıdır.

Key Concept

Mutlak değerli denklemlerde ∣f(x)∣=∣g(x)∣|f(x)| = |g(x)| formundaki ifadeler çözülürken her iki tarafın aynı işaretli veya zıt işaretli olduğu iki ayrı durum incelenmelidir.

Hints

1
∣a∣=∣b∣|a| = |b| ise a=ba = b veya a=−ba = -b olmalıdır.
2
Denklemi iki parçaya ayırın: 3x−6=x+103x - 6 = x + 10 ve 3x−6=−x−103x - 6 = -x - 10.
3
Her iki denklemi de çözüp bulduğunuz iki farklı xx değerini birbiriyle çarpın.

Practice More

Mutlak değerli ifadelerin bir sayıya eşit olduğu (∣ax+b∣=c|ax+b|=c) ve iki mutlak değerin toplamının bir sayıya eşit olduğu soru tiplerini inceleyerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Denklemin her iki tarafının karesini alarak da çözüme ulaşabilirsiniz: (3x−6)2=(x+10)2(3x-6)^2 = (x+10)^2. Bu işlemden elde edilecek 2. derece denklemin kökleri, mutlak değerli denklemin kökleriyle aynı olacaktır.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Mutlak Değer

More questions from this topic