Examkin

Question

Difficulty: HardMutlak Değer
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
∣3x−12∣+3x=a |3x - 12| + 3x = a
denklemini sağlayan hiçbir xx gerçel sayısı bulunmadığına göre, aa'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
  1. A
    10
  2. 11Answer
  3. C
    12
  4. D
    13
  5. E
    15

Answer

Denklemde çözüm kümesinin boş olması için aa değeri 12'den küçük olmalıdır, bu şartı sağlayan en büyük tam sayı 11'dir.
İfadenin alabileceği en küçük değer 12'dir. Eşitliğin sağlanamaması (çözüm olmaması) için aa sayısının 12'den kesinlikle küçük olması gerekir. Bu durumda en büyük tam sayı değeri 11 olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi bir fonksiyon olarak düşünerek mutlak değerin kritik noktasını belirle.
3x−12=0⇒x=43x - 12 = 0 \Rightarrow x = 4 kritik noktadır.
Mutlak değerin içi x=4x=4 noktasında işaret değiştirir, bu nedenle inceleme x≥4x \ge 4 ve x<4x < 4 durumlarına göre yapılmalıdır.
2
x≥4x \ge 4 durumu için fonksiyonun görüntü kümesini incele.
x≥4x \ge 4 ise ∣3x−12∣=3x−12|3x-12| = 3x-12 olur. İfade: (3x−12)+3x=6x−12(3x-12) + 3x = 6x - 12. Bu aralıkta en küçük değer x=4x=4 için 6(4)−12=126(4)-12 = 12 olur.
6x−126x - 12 artan bir fonksiyondur, minimum değerini aralığın başlangıcında alır.
3
x<4x < 4 durumu için fonksiyonun görüntü kümesini incele.
x<4x < 4 ise ∣3x−12∣=−(3x−12)=−3x+12|3x-12| = -(3x-12) = -3x+12 olur. İfade: (−3x+12)+3x=12(-3x+12) + 3x = 12.
Bu aralıkta xx'li terimler birbirini götürür ve ifade sabit 12 değerine eşit olur.
4
Elde edilen sonuçlara göre fonksiyonun genel görüntü kümesini ve çözüm koşulunu belirle.
İfade her zaman 12 veya 12'den büyük değerler almaktadır (Görüntü kümesi: [12,∞)[12, \infty)). Çözüm kümesinin boş olması için sonucun (aa) bu aralığın dışında olması gerekir: a<12a < 12.
Eğer a≥12a \ge 12 olsaydı, grafik y=ay=a doğrusunu keserdi ve çözüm olurdu.
5
a<12a < 12 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayıyı bul.
11
12'den küçük en büyük tam sayı 11'dir.

Key Concept

Mutlak değerli fonksiyonların grafiği ve görüntü kümesi analizi

Hints

1
Mutlak değer içini sıfır yapan kritik noktayı (x=4x=4) bularak ifadeyi iki ayrı durumda inceleyiniz.
2
x≥4x \ge 4 ve x<4x < 4 durumları için ∣3x−12∣+3x|3x - 12| + 3x ifadesinin alabileceği değerleri (görüntü kümesini) hesaplayınız.

Practice More

Benzer mantıkla ∣2x−6∣−2x=a|2x-6| - 2x = a denkleminin çözüm kümesini inceleyen bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Grafik Çizimi: y=∣3x−12∣+3xy = |3x-12| + 3x fonksiyonunun grafiği çizilirse, x<4x<4 için y=12y=12 yatay doğrusu, x>4x>4 için ise y=6x−12y=6x-12 yükselen doğrusu oluşur. Grafiğin en alt noktası y=12y=12'dir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Mutlak Değer

More questions from this topic