Examkin

Question

Difficulty: Very hardFaktöriyel (Sayma)

AA, BB ve CC sayıları aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A=23!+24! A = 23! + 24!

B=48!+49! B = 48! + 49!

C=73!+74! C = 73! + 74!

Buna göre, A⋅B⋅CA \cdot B \cdot C çarpımının sondan kaç basamağı sıfırdır?

  1. A
    30
  2. B
    33
  3. 36Answer
  4. D
    38
  5. E
    40

Answer

Çarpımın sondan 36 basamağı sıfırdır
Çarpımın sondan kaç basamağının sıfır olduğu, toplam 5 çarpanı sayısına eşittir. İfadeler A=23!⋅25A=23! \cdot 25, B=48!⋅50B=48! \cdot 50 ve C=73!⋅75C=73! \cdot 75 şeklinde düzenlendiğinde; faktöriyellerden sırasıyla 4, 10 ve 16 adet, katsayılar olan 25, 50 ve 75 sayılarının her birinden ise ikişer adet (toplam 6) 5 çarpanı gelir. Toplamda 4+2+10+2+16+2=364+2+10+2+16+2 = 36 adet 5 çarpanı, dolayısıyla 36 adet sıfır vardır.

Step-by-Step Solution

1
Bir sayının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için, o sayının asal çarpanlarına ayrıldığında içindeki 5 çarpanlarının sayısına bakılır (2 çarpanı zaten boldur).
Hedef: Her bir ifadeyi (AA, BB, CC) düzenleyip toplam 5 çarpanı sayısını bulmak.
10=2⋅510 = 2 \cdot 5 olduğundan, 10 çarpanlarının sayısı 5 çarpanlarının sayısı ile sınırlıdır.
2
A=23!+24!A = 23! + 24! ifadesini ortak çarpan parantezine alarak düzenle ve 5 çarpanlarını say.
A=23!(1+24)=23!⋅25=23!⋅52A = 23!(1 + 24) = 23! \cdot 25 = 23! \cdot 5^2. 23!23!'de ⌊23/5⌋=4\lfloor 23/5 \rfloor = 4 tane 5 var. Ekstra 2 tane de 2525'ten gelir. Toplam: 4+2=64 + 2 = 6.
Genellikle küçük faktöriyelin sıfır sayısı alınır ancak burada katsayıdan (2525) gelen ekstra 5'ler sonucu değiştirir.
3
B=48!+49!B = 48! + 49! ifadesini düzenle ve 5 çarpanlarını say.
B=48!(1+49)=48!⋅50=48!⋅(2⋅52)B = 48!(1 + 49) = 48! \cdot 50 = 48! \cdot (2 \cdot 5^2). 48!48!'de 9+1=109+1=10 tane 5 var. Ekstra 2 tane de 5050'den gelir. Toplam: 10+2=1210 + 2 = 12.
48/548/5 bölüm 9, 9/59/5 bölüm 1. Toplam 10. Katsayıdan gelen 2 adet 5 unutulmamalıdır.
4
C=73!+74!C = 73! + 74! ifadesini düzenle ve 5 çarpanlarını say.
C=73!(1+74)=73!⋅75=73!⋅(3⋅52)C = 73!(1 + 74) = 73! \cdot 75 = 73! \cdot (3 \cdot 5^2). 73!73!'de 14+2=1614+2=16 tane 5 var. Ekstra 2 tane de 7575'ten gelir. Toplam: 16+2=1816 + 2 = 18.
73/573/5 bölüm 14, 14/514/5 bölüm 2. Toplam 16. Katsayıdan gelen 2 adet 5 eklenir.
5
Çarpım durumundaki ifadelerin sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için, her bir ifadenin sıfır sayılarını topla.
Toplam Sıfır Sayısı = 6(A)+12(B)+18(C)=366 (A) + 12 (B) + 18 (C) = 36.
10a⋅10b⋅10c=10a+b+c10^a \cdot 10^b \cdot 10^c = 10^{a+b+c} kuralı gereği üsler toplanır.

Key Concept

Faktöriyel toplamlarında sondan gelen sıfır sayısı bulunurken ifade ortak paranteze alınmalı ve katsayıdan gelen 5 çarpanları da hesaba katılmalıdır.

Hints

1
Bir ifadenin sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için içindeki 5 çarpanlarının sayısını bulmalısınız.
2
n!+(n+1)!n! + (n+1)! şeklindeki ifadeleri doğrudan hesaplamak yerine n!(1+n+1)n!(1 + n + 1) şeklinde ortak çarpan parantezine alarak çarpım haline getirin.
3
23!+24!=23!⋅2523! + 24! = 23! \cdot 25 olur. Sadece 23!23!'deki değil, 2525'teki 5 çarpanlarını da saymayı unutmayın. Aynı işlemi diğerleri için de yapın.

Practice More

Benzer mantıkla, A=19!+20!A = 19! + 20! ise A'nın sondan kaç basamağı sıfırdır? sorusunu çözerek katsayı etkisini pekiştirin.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Sayma)

More questions from this topic