Examkin

Question

Difficulty: HardKöklü İfadeler

a<b<0a < b < 0 olmak üzere,

a2+2ab+b2∣a+b∣+a2−2ab+b2a2−b \frac{\sqrt{a^2 + 2ab + b^2}}{|a+b|} + \frac{\sqrt{a^2 - 2ab + b^2}}{\sqrt{a^2} - b}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0
  2. B
    2
  3. 2aa+b\frac{2a}{a+b}Answer
  4. D
    2ba+b\frac{2b}{a+b}
  5. E
    a−ba+b\frac{a-b}{a+b}

Answer

İfadenin sadeleşmiş hali 2aa+b\frac{2a}{a+b} şeklindedir.
Çift dereceli köklerin dışarıya mutlak değer olarak çıkması kuralı (x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|) ve verilen a<b<0a < b < 0 koşuluna göre işaret incelemesi doğru yapıldığında; birinci terim 1, ikinci terim ise b−a−(a+b)\frac{b-a}{-(a+b)} olarak bulunur. Bu ifadelerin toplamı 2aa+b\frac{2a}{a+b} sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Kök içindeki ifadeleri tam kare özdeşlikleri olarak yaz ve kök dışına mutlak değerle çıkar.
(a+b)2∣a+b∣+(a−b)2∣a∣−b=∣a+b∣∣a+b∣+∣a−b∣∣a∣−b\frac{\sqrt{(a+b)^2}}{|a+b|} + \frac{\sqrt{(a-b)^2}}{|a| - b} = \frac{|a+b|}{|a+b|} + \frac{|a-b|}{|a| - b}
Çift dereceli kökler dışarıya mutlak değer içinde çıkar: x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|.
2
a<b<0a < b < 0 eşitsizliğine göre mutlak değer içlerinin işaretini belirle.
aa ve bb negatif olduğu için a+b<0a+b < 0 olur. a<ba < b olduğu için (küçükten büyük çıktığı için) a−b<0a-b < 0 olur. a<0a < 0 olduğu için ∣a∣=−a|a| = -a olur.
Mutlak değerin içi negatifse, ifade eksi ile çarpılarak dışarı çıkar.
3
Mutlak değerleri kaldırarak ifadeyi yeniden yaz.
Birinci terim: −(a+b)−(a+b)=1\frac{-(a+b)}{-(a+b)} = 1.
İkinci terim: Pay ∣a−b∣=−(a−b)=b−a|a-b| = -(a-b) = b-a. Payda ∣a∣−b=−a−b=−(a+b)|a| - b = -a - b = -(a+b).
İfade: 1+b−a−(a+b)1 + \frac{b-a}{-(a+b)}
İşaret incelemesine göre ifadeler düzenlendi.
4
Kesirleri topla ve sonucu sadeleştir.
1−b−aa+b=a+ba+b−b−aa+b=(a+b)−(b−a)a+b=a+b−b+aa+b=2aa+b1 - \frac{b-a}{a+b} = \frac{a+b}{a+b} - \frac{b-a}{a+b} = \frac{(a+b) - (b-a)}{a+b} = \frac{a+b-b+a}{a+b} = \frac{2a}{a+b}
Payda eşitleme ve çıkarma işlemi yapıldı.

Key Concept

Mutlak Değer ve Köklü İfadeler İlişkisi

Hints

1
Çift dereceli köklerin içindeki tam kare ifadeler kök dışına çıkarılırken mutlak değer içinde yazılmalıdır: x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|.
2
a<b<0a < b < 0 eşitsizliğine göre, mutlak değer içindeki (a−b)(a-b) ifadesinin işareti negatiftir (küçük sayıdan büyük sayı çıktığı için).
3
İkinci kesrin paydasındaki a2\sqrt{a^2} ifadesi ∣a∣|a| olur. aa negatif olduğu için bu ifade −a-a olarak dışarı çıkar.

Alternative Method

Sayı vererek kontrol etme (Değer Verme Yöntemi): a=−2a=-2 ve b=−1b=-1 seçilirse ifade 9∣−3∣+14−(−1)=1+12+1=1+13=43\frac{\sqrt{9}}{|-3|} + \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}-(-1)} = 1 + \frac{1}{2+1} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} olur. Şıklarda a=−2,b=−1a=-2, b=-1 yazıldığında 2aa+b=−4−3=43\frac{2a}{a+b} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3} sonucunu veren tek şık bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Köklü İfadeler

More questions from this topic