Examkin

Question

Difficulty: HardKöklü İfadeler

a<0<ba < 0 < b olmak üzere,

a2+a2−2ab+b2+ba33−b \frac{\sqrt{a^2} + \sqrt{a^2 - 2ab + b^2} + b}{\sqrt[3]{a^3} - b}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. -2Answer
  2. B
    -1
  3. C
    0
  4. D
    1
  5. E
    2

Answer

İfadenin sadeleşmiş biçimi -2 değerine eşittir.
Verilen eşitsizlik (a<0<ba < 0 < b) kullanılarak kök dışına çıkarma işlemi yapılmalıdır. a2=−a\sqrt{a^2} = -a, (a−b)2=b−a\sqrt{(a-b)^2} = b-a ve a33=a\sqrt[3]{a^3} = a olarak bulunur. Yerine yazıldığında pay 2(b−a)2(b-a), payda ise a−ba-b olur. Bu terimler sadeleştiğinde sonuç -2 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenlerin işaretlerini belirle.
a<0a < 0 olduğu için aa negatif, b>0b > 0 olduğu için bb pozitiftir.
Mutlak değer dışına çıkarma işlemi için işaretlerin bilinmesi gerekir.
2
Pay kısmındaki köklü ifadeleri mutlak değer kuralına göre dışarı çıkar.
a2=∣a∣=−a\sqrt{a^2} = |a| = -a (Çünkü a<0a < 0)
a2−2ab+b2=(a−b)2=∣a−b∣\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = \sqrt{(a-b)^2} = |a-b|.
a<ba < b olduğundan a−b<0a-b < 0 olur, bu yüzden ∣a−b∣=−(a−b)=b−a|a-b| = -(a-b) = b-a.
Çift dereceli kökler mutlak değer içinde çıkar: x2n2n=∣x∣\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|.
3
Paydadaki tek dereceli kökü dışarı çıkar.
a33=a\sqrt[3]{a^3} = a.
Tek dereceli köklerde mutlak değer kullanılmaz, sayı işaretini koruyarak çıkar: x2n+12n+1=x\sqrt[2n+1]{x^{2n+1}} = x.
4
Bulunan değerleri yerine yaz ve ifadeyi düzenle.
Pay: (−a)+(b−a)+b=−2a+2b=2(b−a)(-a) + (b-a) + b = -2a + 2b = 2(b-a).
Payda: a−ba - b.
Cebirsel toplama işlemi yapılır.
5
Kesri sadeleştir.
2(b−a)a−b=2(b−a)−(b−a)=−2\frac{2(b-a)}{a-b} = \frac{2(b-a)}{-(b-a)} = -2
a−ba-b ifadesi −(b−a)-(b-a) ifadesine eşittir, sadeleşince -1 çarpanı gelir.

Key Concept

Köklü sayılarda çift dereceli köklerin mutlak değer olarak, tek dereceli köklerin ise aynen dışarı çıkması kuralı.

Hints

1
Çift dereceli köklerin dışarı mutlak değer içinde çıktığını (x2=∣x∣ \sqrt{x^2} = |x| ) hatırlayınız.
2
a<ba < b olduğu için (a−b)(a-b) ifadesinin işareti negatiftir. Mutlak değer dışına çıkarken işaret değiştirmelidir.
3
Pay kısmını düzenlediğinizde 2(b−a)2(b-a) ifadesini bulmalısınız. Payda ise a−ba-b olur. Bu iki ifade birbirinin ters işaretlisidir.

Alternative Method

Değer verme yöntemi (sadece test tekniği olarak): a=−1a=-1 ve b=2b=2 vererek sonucu kontrol edebilirsiniz. Pay: 1+9+2=1+3+2=6\sqrt{1} + \sqrt{9} + 2 = 1+3+2=6. Payda: −13−2=−1−2=−3\sqrt[3]{-1} - 2 = -1-2=-3. Sonuç: 6/(−3)=−26/(-3) = -2.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Köklü İfadeler

More questions from this topic