Examkin

Question

Difficulty: HardMutlak Değer

a<b<0a < b < 0 olmak üzere,

∣b2−a2∣∣a+b∣+∣a−b∣ \frac{|b^2 - a^2|}{|a+b|} + |a - b|

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0
  2. 2b - 2aAnswer
  3. C
    2a - 2b
  4. D
    2b
  5. E
    -2a

Answer

2b−2a2b - 2a ifadesidir.
Verilen a<b<0a < b < 0 koşuluna göre işaret analizi doğru yapıldığında; kesirli ifadenin payı a2−b2a^2 - b^2, paydası −(a+b)-(a+b) olarak çıkar. Sadeleştirme sonucu b−ab-a elde edilir. İkinci terim olan ∣a−b∣|a-b| de b−ab-a olarak çıkar. Bu iki ifadenin toplamı 2b−2a2b - 2a sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Mutlak değer içindeki ifadelerin işaretlerini belirle.
a<b<0a < b < 0 olduğundan:
1. a+ba+b negatiftir (a+b<0a+b < 0).
2. a<b<0a < b < 0 sıralamasında mutlak değerce büyük olan aa'dır (∣a∣>∣b∣|a| > |b|), dolayısıyla a2>b2a^2 > b^2 olur. Bu durumda b2−a2b^2 - a^2 negatiftir (b2−a2<0b^2 - a^2 < 0).
3. a<ba < b olduğundan a−ba - b negatiftir (a−b<0a - b < 0).
Mutlak değer dışına çıkarma kuralını uygulamak için içerideki ifadenin pozitif mi negatif mi olduğu tespit edilmelidir.
2
İfadeleri mutlak değer dışına çıkar.
∣a+b∣=−(a+b)|a+b| = -(a+b)
∣b2−a2∣=−(b2−a2)=a2−b2|b^2 - a^2| = -(b^2 - a^2) = a^2 - b^2
∣a−b∣=−(a−b)=b−a|a - b| = -(a - b) = b - a
Negatif ifadeler mutlak değer dışına çıkarken önüne eksi işareti alır (- ile çarpılır).
3
Elde edilen ifadeleri yerine yaz ve sadeleştir.
a2−b2−(a+b)+(b−a)\frac{a^2 - b^2}{-(a+b)} + (b - a)
Pay kısmını çarpanlarına ayıralım (a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)):
=(a−b)(a+b)−(a+b)+b−a= \frac{(a-b)(a+b)}{-(a+b)} + b - a
(a+b)(a+b) ifadeleri sadeleşir ve paydadaki eksi işareti kalır:
=−(a−b)+b−a= -(a - b) + b - a
=−a+b+b−a= -a + b + b - a
=2b−2a= 2b - 2a
Cebirsel ifadelerde gerekli dört işlem ve sadeleştirmeler yapılarak en yalın hal bulunur.

Key Concept

Mutlak değer içindeki ifade negatif ise dışarıya -1 ile çarpılarak (işaret değiştirerek) çıkar. Negatif sayıların karesi alındığında sıralama ters döner (a<b<0  ⟹  a2>b2a < b < 0 \implies a^2 > b^2).

Hints

1
Değişkenlerin işaretini ve büyüklüğünü anlamak için örnek değerler veriniz (örneğin a=−3,b=−2a = -3, b = -2). Bu değerleri kullanarak mutlak değer içlerinin pozitif mi negatif mi olduğuna karar veriniz.
2
Negatif sayılarda sıralama a<ba < b ise kareleri arasında a2>b2a^2 > b^2 ilişkisi vardır. Buna göre b2−a2b^2 - a^2 ifadesinin negatif olduğuna dikkat ediniz.
3
Kesirli ifadenin payını (a−b)(a+b)(a-b)(a+b) veya (b−a)(b+a)(b-a)(b+a) şeklinde çarpanlarına ayırarak payda ile sadeleştiriniz. Paydadaki ∣a+b∣|a+b| ifadesinin −(a+b)-(a+b) olarak çıkacağını unutmayınız.

Practice More

Mutlak değerli eşitsizliklerde benzer işaret analizlerini içeren sorular çözülebilir.

Alternative Method

Değer verme yöntemi: a=−2a=-2 ve b=−1b=-1 seçilirse ifade ∣1−4∣∣−3∣+∣−2−(−1)∣=33+∣−1∣=1+1=2\frac{|1 - 4|}{|-3|} + |-2 - (-1)| = \frac{3}{3} + |-1| = 1 + 1 = 2 olur. Seçeneklerde a=−2,b=−1a=-2, b=-1 yazıldığında sonucu 2 olan tek seçenek 2b−2a2b - 2a (2(-1) - 2(-2) = -2 + 4 = 2) seçeneğidir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Mutlak Değer

More questions from this topic