Examkin

Question

Difficulty: HardKöklü İfadeler
10+68+60−2\frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{\sqrt{8 + \sqrt{60}}} - \sqrt{2}

işleminin sonucu kaçtır?
  1. 0Answer
  2. B
    1
  3. C
    2\sqrt{2}
  4. D
    222\sqrt{2}
  5. E
    3\sqrt{3}

Answer

İşlemin sonucu 0'dır.
Soru, iç içe kökler (A±2B\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}) kuralının ve köklü sayılarda ortak çarpan parantezine alma yönteminin bir arada kullanılmasını gerektirir. Paydadaki ifade 5+3\sqrt{5}+\sqrt{3} olarak dışarı çıkar. Pay ise 2\sqrt{2} parantezine alındığında 2(5+3)\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3}) olur. Sadeleştirme sonucu elde edilen 2\sqrt{2} değerinden, sorudaki 2\sqrt{2} çıkarıldığında sonuç 0 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Paydadaki 8+60\sqrt{8 + \sqrt{60}} ifadesini düzenle.
8+215\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}
A+2B\sqrt{A + 2\sqrt{B}} kuralını uygulayabilmek için 60\sqrt{60} ifadesi 2152\sqrt{15} şeklinde yazılmalıdır.
2
Kök dışına çıkarma kuralını uygula.
5+3\sqrt{5} + \sqrt{3}
Çarpımları 15 (5×35 \times 3), toplamları 8 (5+35 + 3) olan sayılar 5 ve 3'tür. Bu durumda ifade 5+3\sqrt{5} + \sqrt{3} olarak kök dışına çıkar.
3
Pay kısmındaki 10+6\sqrt{10} + \sqrt{6} ifadesini ortak çarpan parantezine al.
2(5+3)\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3})
Sadeleştirme yapabilmek için pay, payda ile benzer terimler içerecek şekilde çarpanlarına ayrılır.
4
Kesirli ifadeyi sadeleştir ve çıkarma işlemini yap.
2(5+3)5+3−2=2−2=0\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} - \sqrt{2} = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0
Pay ve paydadaki (5+3)(\sqrt{5} + \sqrt{3}) terimleri birbirini götürür, geriye kalan 2\sqrt{2}'den 2\sqrt{2} çıkarılır.

Key Concept

İç İçe Kökler Kuralı

Hints

1
Paydadaki 8+60\sqrt{8 + \sqrt{60}} ifadesini A+2B\sqrt{A + 2\sqrt{B}} formatına benzetmeye çalışın.
2
60=4×15=215\sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = 2\sqrt{15} dönüşümünü yapın ve çarpımları 15, toplamları 8 olan iki sayıyı düşünün.
3
Pay kısmındaki 10+6\sqrt{10} + \sqrt{6} ifadesini 2\sqrt{2} ortak parantezine alırsanız, payda ile sadeleşecek bir terim elde edersiniz.

Practice More

Benzer yapıdaki 7−24\sqrt{7 - \sqrt{24}} gibi ifadelerin sadeleştirilmesi üzerine pratik yapın.

Alternative Method

Paydadaki ifadenin karesini alıp sonra karekökünü tekrar alarak da ( (x+y)2=x+y+2xy \,(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 = x+y+2\sqrt{xy}\, özdeşliğinden faydalanarak) 5+3\sqrt{5}+\sqrt{3} olduğu görülebilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Köklü İfadeler

More questions from this topic