Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel (Sayma)
nn bir doğal sayı olmak üzere,
43!24n \frac{43!}{24^n}

ifadesi bir tam sayıya eşittir.

Buna göre, nn'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

  1. 13Answer
  2. B
    14
  3. C
    19
  4. D
    21
  5. E
    39

Answer

n'nin alabileceği en büyük değer 13'tür.
43! sayısının içinde 24n24^n çarpanını arıyoruz. 24=23⋅324 = 2^3 \cdot 3 olduğundan, her bir nn değeri için üç adet 2 ve bir adet 3 çarpanına ihtiyacımız vardır. 43! içinde toplam 19 tane 3 çarpanı ve 39 tane 2 çarpanı vardır. Ancak 2'ler üçerli gruplar halinde kullanılacağı için ⌊39/3⌋=13\lfloor 39/3 \rfloor = 13 grup oluşturulabilir. 13 grup 232^3 ve 19 tane 3 çarpanı arasından, daha az olan sayı (13) sonucu belirler. Bu nedenle en büyük değer 13'tür.

Step-by-Step Solution

1
Bölen sayının (24) asal çarpanlarını belirle.
24=23⋅3124 = 2^3 \cdot 3^1
Bileşik sayının asal çarpanlarına ayrılması, hangi asal çarpanın sınırlayıcı olduğunu bulmak için gereklidir.
2
43! içindeki 3 çarpanının sayısını bul (Büyük asal kuralı kontrolü).
⌊433⌋+⌊439⌋+⌊4327⌋=14+4+1=19\lfloor\frac{43}{3}\rfloor + \lfloor\frac{43}{9}\rfloor + \lfloor\frac{43}{27}\rfloor = 14 + 4 + 1 = 19. En fazla 3193^{19} elde edilebilir.
Genellikle büyük asal çarpan sınırlayıcıdır, ancak üsler farklı olduğu için her iki çarpan da kontrol edilmelidir.
3
43! içindeki 2 çarpanının sayısını bul.
⌊432⌋+⌊434⌋+⌊438⌋+⌊4316⌋+⌊4332⌋=21+10+5+2+1=39\lfloor\frac{43}{2}\rfloor + \lfloor\frac{43}{4}\rfloor + \lfloor\frac{43}{8}\rfloor + \lfloor\frac{43}{16}\rfloor + \lfloor\frac{43}{32}\rfloor = 21 + 10 + 5 + 2 + 1 = 39.
Toplam 2 çarpanı sayısı hesaplanır.
4
24 sayısı 232^3 gerektirdiği için, mevcut 2 çarpanı sayısını 3'e bölerek grup sayısını bul.
⌊393⌋=13\lfloor\frac{39}{3}\rfloor = 13. Yani en fazla 13 adet 232^3 grubu oluşturulabilir.
Her bir 24 sayısı için üç adet 2 çarpanına ihtiyaç vardır.
5
Elde edilen grup sayılarını karşılaştırarak en küçüğünü (sınırlayıcı olanı) seç.
3 çarpanı ile 19 adet, 2 çarpanı ile 13 adet 24 sayısı oluşturulabilir. 13<1913 < 19 olduğu için cevap 13'tür.
Bir sayının tam bölünebilmesi için tüm bileşenlerinin (hem 232^3 hem 313^1) sağlanması gerekir. Daha az oluşturulabilen bileşen, toplam sayıyı sınırlar.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerin bileşik sayı kuvvetlerine bölünmesinde, tabandaki sayının asal çarpan kuvvetlerine (üslerine) dikkat edilmelidir. Her zaman büyük asal çarpan sınırlayıcı olmayabilir; üssü büyük olan küçük asal çarpan daha sınırlayıcı olabilir.

Hints

1
24 sayısını asal çarpanlarına ayırın: 24=23⋅3124 = 2^3 \cdot 3^1. Hangi asal çarpandan kaç tane gerektiğini belirleyin.

Practice More

Benzer mantıkla, 60!/72n60! / 72^n sorusunu çözerek sınırlayıcı çarpan kavramını pekiştirebilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Sayma)

More questions from this topic