Examkin

Question

Difficulty: HardMutlak Değer
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
∣∣2x−7∣−6∣=3 ||2x - 7| - 6| = 3
eşitliğini sağlayan farklı xx değerlerinin toplamı kaçtır?
  1. A
    7
  2. B
    10
  3. 14Answer
  4. D
    16
  5. E
    21

Answer

Eşitliği sağlayan değerlerin toplamı 14'tür.
Verilen iç içe mutlak değer denklemi, dışarıdaki mutlak değer ifadesinin 3 veya -3'e eşitlenmesiyle iki ana kola ayrılır. Birinci kolda ∣2x−7∣=9|2x-7|=9 elde edilir ve buradan x=8x=8 ile x=−1x=-1 kökleri bulunur. İkinci kolda ∣2x−7∣=3|2x-7|=3 elde edilir ve buradan x=5x=5 ile x=2x=2 kökleri bulunur. Tüm bu değerlerin toplamı 8+(−1)+5+2=148 + (-1) + 5 + 2 = 14 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Dış mutlak değeri açarak iki farklı durum oluştur.
∣2x−7∣−6=3|2x - 7| - 6 = 3 veya ∣2x−7∣−6=−3|2x - 7| - 6 = -3
∣a∣=k|a| = k ise a=ka = k veya a=−ka = -k kuralı uygulanır.
2
Birinci durumu (∣2x−7∣−6=3|2x - 7| - 6 = 3) çöz.
∣2x−7∣=9⇒2x−7=9 veya 2x−7=−9|2x - 7| = 9 \Rightarrow 2x - 7 = 9 \text{ veya } 2x - 7 = -9. Buradan x=8x = 8 ve x=−1x = -1 bulunur.
Yalnız bırakılan mutlak değer tekrar iki duruma ayrılır.
3
İkinci durumu (∣2x−7∣−6=−3|2x - 7| - 6 = -3) çöz.
∣2x−7∣=3⇒2x−7=3 veya 2x−7=−3|2x - 7| = 3 \Rightarrow 2x - 7 = 3 \text{ veya } 2x - 7 = -3. Buradan x=5x = 5 ve x=2x = 2 bulunur.
Bu aşamada da mutlak değer tanımı uygulanır.
4
Bulunan tüm xx değerlerini topla.
8+(−1)+5+2=148 + (-1) + 5 + 2 = 14
Soruda farklı xx değerlerinin toplamı istenmiştir.

Key Concept

İç içe mutlak değerli denklemlerin çözümünde, işlem en dıştan içe doğru ve her aşamada tüm durumlar (pozitif ve negatif) dikkate alınarak yapılmalıdır.

Hints

1
En dıştaki mutlak değeri kaldırmak için, eşitliğin diğer tarafındaki sayının hem pozitif hem de negatif işaretlisini düşünmelisiniz.
2
∣2x−7∣−6|2x - 7| - 6 ifadesi 33 veya −3-3 olabilir. Bu iki durumu ayrı ayrı yazıp çözüme devam edin.

Practice More

Benzer bir mantıkla kurulan fakat çözüm kümesi boş küme olan durumları incelemek için ∣∣x−2∣+5∣=3| |x-2| + 5 | = 3 gibi denklemleri araştırabilirsiniz.

Alternative Method

Mutlak değer grafiği simetriktir. ∣ax+b∣=k|ax+b|=k denkleminin kökleri, simetri ekseni olan x=−b/ax=-b/a değerine göre simetriktir ve kökler toplamı −2b/a-2b/a formülüyle bulunabilir. Burada simetri ekseni x=7/2=3.5x=7/2=3.5'tir. İki denklem (=9=9 ve =3=3) olduğu için her birinden gelen kökler toplamı 2×3.5=72 \times 3.5 = 7 olur. İki toplamın toplamı 7+7=147+7=14 eder.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Mutlak Değer

More questions from this topic