Examkin

Question

Difficulty: Very hardBinom Açılımı
(x2−2x)n \left( x^2 - \frac{2}{x} \right)^n

ifadesinin açılımında baştan 5. terim sabit terimdir.

Buna göre, bu açılımdaki ortadaki terimin katsayısının sabit terime oranı kaçtır?

  1. A
    −32-\frac{3}{2}
  2. −23-\frac{2}{3}Answer
  3. C
    23\frac{2}{3}
  4. D
    43\frac{4}{3}
  5. E
    32\frac{3}{2}

Answer

İstenen oran −23-\frac{2}{3} tür.
Doğru cevap, nn değerinin doğru bulunması, ortadaki terim ve sabit terim katsayılarının işaret ve kuvvetlere dikkat edilerek hesaplanıp oranlanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Genel terim formülünü yazarak sabit terim koşulunu sağlayan n değerini bul.
Genel terim: (nr)(x2)n−r(−2x−1)r\binom{n}{r}(x^2)^{n-r}(-2x^{-1})^r. Baştan 5. terim için r=4r=4 tür. xx'in kuvveti: 2(n−4)−1(4)=0⇒2n=12⇒n=62(n-4) - 1(4) = 0 \Rightarrow 2n = 12 \Rightarrow n=6.
Binom açılımında baştan (r+1)(r+1). terim formülü kullanılır.
2
Bulunan n değeri için ortadaki terimi belirle.
n=6n=6 (çift sayı) olduğu için n+1=7n+1=7 terim vardır. Ortadaki terim 4. terimdir, yani r=3r=3 tür.
Ortadaki terim için r=n/2r = n/2 alınır.
3
Ortadaki terimin katsayısını hesapla.
r=3r=3 için katsayı: (63)⋅(1)3⋅(−2)3=20⋅(−8)=−160\binom{6}{3} \cdot (1)^3 \cdot (-2)^3 = 20 \cdot (-8) = -160.
Katsayı hesaplanırken hem kombinasyon hem de terimlerin sayısal çarpanları alınır.
4
Sabit terimin katsayısını hesapla.
r=4r=4 (sabit terim) için katsayı: (64)⋅(1)2⋅(−2)4=15⋅16=240\binom{6}{4} \cdot (1)^2 \cdot (-2)^4 = 15 \cdot 16 = 240.
Sabit terim x0x^0 lı terimdir.
5
İstenen oranı hesapla.
Oran = −160240=−1624=−23\frac{-160}{240} = -\frac{16}{24} = -\frac{2}{3}.
Sonuç sadeleştirilir.

Key Concept

Binom açılımında genel terim C(n,r)⋅an−r⋅brC(n,r) \cdot a^{n-r} \cdot b^r formülüyle bulunur. Sabit terim için değişkenin üssü 0 olmalıdır.

Hints

1
Önce verilen ifadenin kaçıncı kuvvetinin (nn) alındığını bulmalısın. Bunun için genel terim formülünü (Tr+1T_{r+1}) kullan ve sabit terim olması için xx'in üssünü sıfıra eşitle.
2
Baştan 5. terim dendiği için r=4r=4 almalısın. Buradan n=6n=6 bulunacaktır. Şimdi n=6n=6 için ortadaki terimin kaçıncı terim olduğunu bul.
3
n=6n=6 açılımında 7 terim vardır, ortadaki terim 4. terimdir (r=3r=3). Katsayıları hesaplarken (−2/x)r(-2/x)^r ifadesindeki (−2)(-2) sayısının kuvvetini almayı unutma.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Binom Açılımı

More questions from this topic