Examkin

Question

Difficulty: Very hardİşlem
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı Δ\Delta işlemi, her x,yx, y gerçel sayısı için
xΔy=xy+kx+ky+mx \Delta y = xy + kx + ky + m

biçiminde tanımlanıyor. Bu işlemin bir etkisiz (birim) elemanı olduğu ve işlemde tersi bulunmayan tek elemanın −3-3 olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu işlemde 22 sayısının tersi (2−12^{-1}) kaçtır?

  1. −145-\frac{14}{5}Answer
  2. B
    −114-\frac{11}{4}
  3. C
    −2-2
  4. D
    −3-3
  5. E
    145\frac{14}{5}

Answer

İşlemin parametreleri k=3k=3 ve m=6m=6 olarak bulunduktan sonra, 22 sayısının tersi −145-\frac{14}{5} olarak hesaplanır.
Verilen işlem xΔy=xy+kx+ky+mx \Delta y = xy + kx + ky + m biçimindedir. Etkisiz eleman ee için xΔe=xx \Delta e = x olmalıdır. Buradan x(e+k−1)+(ke+m)=0x(e+k-1) + (ke+m) = 0 elde edilir. Her xx için sağlanması gerektiğinden e=1−ke = 1-k ve ke=−mke = -m olur. Tersi olmayan eleman, genel ters formülünde paydayı sıfır yapan değerdir. İşlem simetrik olduğundan ters formülü y=e−kx−mx+ky = \frac{e - kx - m}{x + k} yapısındadır. Paydayı sıfır yapan değer −k-k'dır. Soruda bu değer −3-3 verildiğinden k=3k=3 bulunur. Buradan e=−2e = -2 ve m=6m = 6 çıkar. 22'nin tersini bulmak için 2Δy=−22 \Delta y = -2 denklemi çözülürse: 2y+3(2)+3y+6=−2⇒5y+12=−2⇒5y=−14⇒y=−14/52y + 3(2) + 3y + 6 = -2 \Rightarrow 5y + 12 = -2 \Rightarrow 5y = -14 \Rightarrow y = -14/5.

Step-by-Step Solution

1
Etkisiz eleman (ee) tanımından parametreler arasındaki ilişkiyi belirle.
xΔe=x⇒x(k+e−1)+(ke+m)=0x \Delta e = x \Rightarrow x(k+e-1) + (ke+m) = 0 eşitliğinden e=1−ke = 1-k ve m=k2−km = k^2-k elde edilir.
Etkisiz eleman özelliği her xx için sağlanmalıdır, bu nedenle xx'in katsayısı ve sabit terim sıfır olmalıdır.
2
Tersi olmayan eleman bilgisini kullanarak kk değerini bul.
Ters eleman formülü y=e−kx−mx+ky = \frac{e - kx - m}{x + k} şeklindedir. Paydayı sıfır yapan değer −k-k olup, bu değer soruda −3-3 olarak verilmiştir. O halde k=3k=3 olur.
Bir işlemde tersi olmayan eleman, ters bulma formülünde paydayı sıfır yapan (tanımsızlık yaratan) değerdir.
3
kk değerini yerine koyarak ee ve mm değerlerini hesapla.
k=3k=3 ise e=1−3=−2e = 1-3 = -2 ve m=3(3)−3=6m = 3(3)-3 = 6 bulunur. İşlem kuralı: xΔy=xy+3x+3y+6x \Delta y = xy + 3x + 3y + 6.
İşlemin kuralını tam olarak oluşturmak için tüm bilinmeyenler bulunmalıdır.
4
22 sayısının tersini formülde yerine koyarak hesapla.
2−1=−2−3(2)−62+3=−1452^{-1} = \frac{-2 - 3(2) - 6}{2 + 3} = \frac{-14}{5}.
Bulunan k,m,ek, m, e değerleri ve ters alma formülü kullanılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

İşlemde Etkisiz ve Ters Eleman

Hints

1
Öncelikle işlemin etkisiz elemanı ee ile katsayılar (k,mk, m) arasındaki ilişkiyi bulmak için xΔe=xx \Delta e = x eşitliğini kullanın.
2
Genel işlem formatında (ax+by+cxy+dax + by + cxy + d), tersi olmayan eleman genellikle paydayı sıfır yapan değerdir. Ters bulma işlemini xΔy=ex \Delta y = e üzerinden kurgulayın.

Practice More

Benzer bir işlemde tersi kendisine eşit olan elemanları soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Pratik Yol: xΔy=xy+3x+3y+6x \Delta y = xy + 3x + 3y + 6 ifadesi çarpanlara ayrılarak (x+3)(y+3)−3(x+3)(y+3) - 3 şeklinde yazılabilir. Bu formatta işlem yapmak daha kolaydır: (x+3)(y+3)−3=−2⇒(x+3)(y+3)=1(x+3)(y+3) - 3 = -2 \Rightarrow (x+3)(y+3) = 1.
Estimated Time:4m 0s
Rate this question

Topics

İşlem

More questions from this topic