Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel (Sayma)
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
45!24x=y \frac{45!}{24^x} = y

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, xx'in alabileceği en büyük değer kaçtır?

  1. A
    10
  2. 13Answer
  3. C
    14
  4. D
    21
  5. E
    41

Answer

x'in alabileceği en büyük değer 13'tür.
45! sayısı 24x24^x sayısına tam bölünüyorsa, 45! içinde kaç adet 24 çarpanı olduğu bulunmalıdır. 24=23⋅324 = 2^3 \cdot 3 olduğu için, 45! içindeki 2 çarpanlarının sayısı 3'e bölünerek, 3 çarpanlarının sayısı ise 1'e bölünerek karşılaştırılır. 2 çarpanından 41 adet vardır, 41/341/3 işleminden tam sayı olarak 13 adet 232^3 elde edilir. 3 çarpanından 21 adet vardır. 13 sayısı 21'den küçük olduğu için sınırlayıcıdır ve cevap 13 olur.

Step-by-Step Solution

1
Bölen sayıyı asal çarpanlarına ayır.
24=23⋅3124 = 2^3 \cdot 3^1
Faktöriyelli sayının içindeki çarpanları bulmak için tabanın asal olması gerekir.
2
45! içindeki 2 çarpanlarının sayısını bul (Legendré Formülü).
45/2→2245/2 \rightarrow 22, 22/2→1122/2 \rightarrow 11, 11/2→511/2 \rightarrow 5, 5/2→25/2 \rightarrow 2, 2/2→12/2 \rightarrow 1. Toplam: 22+11+5+2+1=4122+11+5+2+1 = 41 tane 2 çarpanı vardır.
Sürekli bölme işlemi ile faktöriyel içindeki asal çarpan sayısı bulunur.
3
Tabandaki 232^3 ifadesi için kaç grup oluşturulabileceğini hesapla.
41/3=1341 / 3 = 13 (kalan 2). Yani en fazla 13 adet 232^3 grubu oluşturulabilir.
Her bir 2424 sayısı için üç adet 2 çarpanına ihtiyaç vardır.
4
45! içindeki 3 çarpanlarının sayısını bul.
45/3→1545/3 \rightarrow 15, 15/3→515/3 \rightarrow 5, 5/3→15/3 \rightarrow 1. Toplam: 15+5+1=2115+5+1 = 21 tane 3 çarpanı vardır.
Diğer asal çarpanın sınır koyup koymadığı kontrol edilmelidir.
5
İki sonuçtan küçük olanı (sınırlayıcı olanı) seç.
2 çarpanı için limit 13, 3 çarpanı için limit 21'dir. Küçük olan 13 olduğu için cevap 13'tür.
Bir sayının oluşturulabilmesi için tüm bileşen çarpanlarının yeterli sayıda olması gerekir. Az olan bileşen üretim sayısını belirler.

Key Concept

Faktöriyel içindeki asal çarpanların sayısını bulma (Legendré Formülü) ve bileşik sayıların kuvvetlerini hesaplama.

Hints

1
24 sayısını asal çarpanlarına ayırarak işe başlayın: 24=23⋅324 = 2^3 \cdot 3.
2
45! içinde kaç tane 2 çarpanı ve kaç tane 3 çarpanı olduğunu ayrı ayrı hesaplayın.
3
Bulduğunuz 2 çarpanı sayısını, 232^3 elde etmek için 3'e bölmeyi unutmayın (tamsayı bölümü). Sonra 3 çarpanı sayısı ile karşılaştırıp küçük olanı seçin.

Practice More

Benzer mantıkla 60!/18x60! / 18^x sorusunu çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Sayma)

More questions from this topic