f: \mathbb{R} \setminus \{-b/3\} \to \mathbb{R} sabit fonksiyon ve g: \mathbb{R} \to \math… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

$f: \mathbb{R} \setminus \{-b/3\} \to \mathbb{R}$ sabit fonksiyon ve $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ birim fonksiyondur.

f(x) = \frac{(a-2)x + 6}{3x + b}

g(x) = (c-2)x + d-3

Aşağıdaki Venn şemasında $A = \{a, b\}$ kümesinden $B = \{5, 6\}$ kümesine tanımlı birebir ve örten $h$ fonksiyonu verilmiştir.

Buna göre, $f(2026) + g(a+b+c+d)$ ifadesinin değeri kaçtır?

Yapılan analizler sonucunda toplamın değeri 18 olarak bulunur.

Doğru cevap olan 18, sabit fonksiyonun rasyonel katsayı kuralı uygulanarak

a=5, b=6

bulunması, ardından birim fonksiyon kuralıyla

c=3, d=3

değerlerinin elde edilmesiyle hesaplanır. Fonksiyonların değerleri

f(2026)=1

g(17)=17

olarak toplanır.

f(x)

fonksiyonunun sabit olması için pay ve paydadaki

x

’li terimlerin ve sabit terimlerin oranlarının eşit olması gerekir.

\frac{a-2}{3} = \frac{6}{b} \Rightarrow (a-2) \cdot b = 18

Rasyonel bir fonksiyonun sabit olması için pay ve paydasının birbirinin katı olması şarttır.

Venn şemasına göre

a

b

değerleri

\{5, 6\}

kümesinin elemanlarıdır. Bu değerleri birinci adımda bulunan denklemde deneyelim.

Eğer

a=5

b=6

ise

(5-2) \cdot 6 = 3 \cdot 6 = 18

(Sağlanır). Eğer

a=6

b=5

ise

(6-2) \cdot 5 = 20 \neq 18

. Dolayısıyla

a=5, b=6

olmalıdır.

h

fonksiyonu birebir ve örten olduğu için her eleman bir diğeriyle eşleşmelidir ve denklem tek bir durumu sağlar.

g(x)

fonksiyonunun birim fonksiyon (

g(x)=x

) olma şartını uygulayalım.

c-2 = 1 \Rightarrow c=3

d-3 = 0 \Rightarrow d=3

Birim fonksiyonda

x

'in katsayısı 1, sabit terim ise 0 olmalıdır.

Fonksiyonların sonuçlarını ve istenen toplamı hesaplayalım.

f(x) = \frac{(5-2)x + 6}{3x + 6} = \frac{3x+6}{3x+6} = 1 \Rightarrow f(2026) = 1

g(a+b+c+d) = g(5+6+3+3) = g(17) = 17

. Toplam:

1 + 17 = 18

Sabit fonksiyon her değer için aynı sonucu verir, birim fonksiyon ise giren değeri aynen çıkarır.

Sabit fonksiyonlarda katsayılar oranı sabittir; birim fonksiyonlarda girdi çıktıya eşittir (

f(x)=x

Question