Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonu,

f(x)={2x−5,x<3x−4,x≥3 f(x) = \begin{cases} 2x - 5, & x < 3 \\ x - 4, & x \ge 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanmıştır. Buna göre, ff fonksiyonu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. A
    Birebir ve örtendir
  2. Örtendir ancak birebir değildirAnswer
  3. C
    Birebirdir ancak örten değildir
  4. D
    Ne birebir ne de örtendir
  5. E
    Sabit fonksiyondur

Answer

Fonksiyon örtendir ancak birebir değildir
Doğru seçenek, fonksiyonun örten ancak birebir olmadığını belirtir. Analiz edildiğinde, birinci parça (−∞,1)(-\infty, 1) aralığını, ikinci parça ise [−1,∞)[-1, \infty) aralığını örter. Bu iki kümenin birleşimi tüm gerçel sayılar kümesidir (R\mathbb{R}), yani fonksiyon örtendir. Ancak [−1,1)[-1, 1) aralığındaki değerler her iki parça tarafından da üretildiği için (örneğin y=0y=0 değeri hem x=2.5x=2.5 hem de x=4x=4 için sağlanır), fonksiyon birebir değildir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci parçanın (x<3x < 3) görüntü kümesini belirle.
x<3  ⟹  2x<6  ⟹  2x−5<1x < 3 \implies 2x < 6 \implies 2x - 5 < 1. Görüntü aralığı: (−∞,1)(-\infty, 1).
Fonksiyonun aldığı değerlerin aralığını bulmak için eşitsizlik çözümü yapılır.
2
İkinci parçanın (x≥3x \ge 3) görüntü kümesini belirle.
x≥3  ⟹  x−4≥3−4  ⟹  x−4≥−1x \ge 3 \implies x - 4 \ge 3 - 4 \implies x - 4 \ge -1. Görüntü aralığı: [−1,∞)[-1, \infty).
İkinci parçanın tanım aralığındaki değerleri fonksiyonda yerine koyarak görüntü kümesi bulunur.
3
Görüntü kümelerinin birleşimini ve kesişimini incele.
Birleşim: (−∞,1)∪[−1,∞)=R(-\infty, 1) \cup [-1, \infty) = \mathbb{R}. Kesişim: [−1,1)[-1, 1).
Örtenlik için birleşimin kodğer kümesine eşit olması, birebirlik için kesişimin boş küme olması gerekir.
4
Sonucu yorumla.
Birleşim R\mathbb{R} olduğu için fonksiyon örtendir. Kesişim boş küme olmadığı için (örneğin f(2.5)=0f(2.5)=0 ve f(4)=0f(4)=0) fonksiyon birebir değildir.
Tanım gereği, değer kümesindeki her elemanın en az bir karşılığı varsa örten, en fazla bir karşılığı varsa birebirdir.

Key Concept

Parçalı Fonksiyonlarda Birebir ve Örtenlik

Hints

1
Her iki parçanın görüntü kümesini (alabileceği değer aralıklarını) ayrı ayrı hesaplayın.
2
Birinci parça için x<3x < 3 olduğunda 2x−52x - 5 ifadesinin hangi aralıkta değer alacağını bulun.
3
Bulduğunuz iki aralığın birleşiminin tüm reel sayıları örtüp örtmediğine ve aralıkların kesişip kesişmediğine (çakışma olup olmadığına) bakın.

Practice More

Benzer bir soruyu, parçaların görüntü kümeleri arasında boşluk kalacak şekilde (örneğin x<3x < 3 için x−5x-5 ve x≥3x \ge 3 için x+2x+2) çözerek 'içine fonksiyon' kavramını pekiştirin.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

More questions from this topic