Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim) Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

$f: \mathbb{R} \setminus \{-b/3\} \to \mathbb{R}$ sabit fonksiyon ve $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ birim fonksiyondur.

f(x) = \frac{(a-2)x + 6}{3x + b}

g(x) = (c-2)x + d-3

Aşağıdaki Venn şemasında $A = \{a, b\}$ kümesinden $B = \{5, 6\}$ kümesine tanımlı birebir ve örten $h$ fonksiyonu verilmiştir.

Buna göre, $f(2026) + g(a+b+c+d)$ ifadesinin değeri kaçtır?

18

17

16

15

14

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Yapılan analizler sonucunda toplamın değeri 18 olarak bulunur.

Doğru cevap olan 18, sabit fonksiyonun rasyonel katsayı kuralı uygulanarak

a=5, b=6

bulunması, ardından birim fonksiyon kuralıyla

c=3, d=3

değerlerinin elde edilmesiyle hesaplanır. Fonksiyonların değerleri

f(2026)=1

ve

g(17)=17

olarak toplanır.

Step-by-Step Solution

1

f(x)

fonksiyonunun sabit olması için pay ve paydadaki

x

’li terimlerin ve sabit terimlerin oranlarının eşit olması gerekir.

\frac{a-2}{3} = \frac{6}{b} \Rightarrow (a-2) \cdot b = 18

Rasyonel bir fonksiyonun sabit olması için pay ve paydasının birbirinin katı olması şarttır.

2

Venn şemasına göre

a

ve

b

değerleri

\{5, 6\}

kümesinin elemanlarıdır. Bu değerleri birinci adımda bulunan denklemde deneyelim.

Eğer

a=5

ve

b=6

ise

(5-2) \cdot 6 = 3 \cdot 6 = 18

(Sağlanır). Eğer

a=6

ve

b=5

ise

(6-2) \cdot 5 = 20 \neq 18

. Dolayısıyla

a=5, b=6

olmalıdır.

h

fonksiyonu birebir ve örten olduğu için her eleman bir diğeriyle eşleşmelidir ve denklem tek bir durumu sağlar.

3

g(x)

fonksiyonunun birim fonksiyon (

g(x)=x

) olma şartını uygulayalım.

c-2 = 1 \Rightarrow c=3

ve

d-3 = 0 \Rightarrow d=3

.

Birim fonksiyonda

x

'in katsayısı 1, sabit terim ise 0 olmalıdır.

4

Fonksiyonların sonuçlarını ve istenen toplamı hesaplayalım.

f(x) = \frac{(5-2)x + 6}{3x + 6} = \frac{3x+6}{3x+6} = 1 \Rightarrow f(2026) = 1

.

g(a+b+c+d) = g(5+6+3+3) = g(17) = 17

. Toplam:

1 + 17 = 18

.

Sabit fonksiyon her değer için aynı sonucu verir, birim fonksiyon ise giren değeri aynen çıkarır.

Key Concept

Sabit fonksiyonlarda katsayılar oranı sabittir; birim fonksiyonlarda girdi çıktıya eşittir (

f(x)=x

).

Question 2Question →

Aşağıdaki şemada $A$ kümesinden $B$ kümesine tanımlı bir $f$ fonksiyonu verilmiştir.

Buna göre, bu $f$ fonksiyonunun çeşidi aşağıdakilerden hangisidir?

Birim fonksiyon

Sabit fonksiyon

Birebir fonksiyon

Örten fonksiyon

Doğrusal fonksiyon

Show answer & explanation

Answer: Sabit fonksiyon

Answer

Verilen eşleşme şemasına göre tüm elemanlar tek bir sonuca gittiği için bu bir sabit fonksiyondur.

Şemada görüldüğü üzere, tanım kümesindeki

a

,

b

ve

c

elemanlarının tamamı değer kümesindeki

2

elemanı ile eşleşmiştir. Tanım kümesindeki her elemanın aynı sonuca gittiği bu tür fonksiyonlara matematiksel olarak 'sabit fonksiyon' adı verilir.

Step-by-Step Solution

1

Tanım kümesindeki (

A

) elemanların hangi değerlerle eşleştiğini kontrol et.

f(a) = 2

,

f(b) = 2

ve

f(c) = 2

olduğu görülmektedir.

Fonksiyonun türünü belirlemek için girdi-çıktı ilişkisini analiz etmemiz gerekir.

2

Elde edilen sonuçları fonksiyon çeşitlerinin tanımlarıyla karşılaştır.

Tüm girdilerin tek bir çıktıya (

2

) yönlendiği tespit edildi.

Sabit fonksiyon tanımı: Tanım kümesindeki her elemanı değer kümesindeki aynı elemana eşleyen fonksiyondur.

Key Concept

Sabit Fonksiyon Tanımı

Hints

1

Tanım kümesindeki (soldaki küme) okların nereye gittiğine dikkat edin.

2

Bütün oklar tek bir noktada mı toplanıyor yoksa herkes kendi yoluna mı gidiyor?

3

Eğer bir fonksiyonun tüm çıktıları aynıysa (örneğin hepsi 2 ise), bu fonksiyonun değeri hiç değişmiyor demektir.

Practice More

Değer kümesindeki hiçbir elemanın boşta kalmadığı (herkesin bir eşi olduğu) durumlara ne ad verilir? (Örten Fonksiyon)

Alternative Method

Fonksiyonu liste yöntemiyle yazarsak:

f = \{(a, 2), (b, 2), (c, 2)\}

. Görüldüğü gibi ikinci bileşenlerin hepsi aynıdır, bu da sabit olduğunu kanıtlar.

Estimated Time:45s

Question 3Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ fonksiyonu,

f(x) = \begin{cases} 2x - 5, & x < 3 \\ x - 4, & x \ge 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanmıştır. Buna göre, $f$ fonksiyonu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Birebir ve örtendir

Örtendir ancak birebir değildir

Birebirdir ancak örten değildir

Ne birebir ne de örtendir

Sabit fonksiyondur

Show answer & explanation

Answer: Örtendir ancak birebir değildir

Answer

Fonksiyon örtendir ancak birebir değildir

Doğru seçenek, fonksiyonun örten ancak birebir olmadığını belirtir. Analiz edildiğinde, birinci parça

(-\infty, 1)

aralığını, ikinci parça ise

[-1, \infty)

aralığını örter. Bu iki kümenin birleşimi tüm gerçel sayılar kümesidir (

\mathbb{R}

), yani fonksiyon örtendir. Ancak

[-1, 1)

aralığındaki değerler her iki parça tarafından da üretildiği için (örneğin

y=0

değeri hem

x=2.5

hem de

x=4

için sağlanır), fonksiyon birebir değildir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci parçanın (

x < 3

) görüntü kümesini belirle.

x < 3 \implies 2x < 6 \implies 2x - 5 < 1

. Görüntü aralığı:

(-\infty, 1)

.

Fonksiyonun aldığı değerlerin aralığını bulmak için eşitsizlik çözümü yapılır.

2

İkinci parçanın (

x \ge 3

) görüntü kümesini belirle.

x \ge 3 \implies x - 4 \ge 3 - 4 \implies x - 4 \ge -1

. Görüntü aralığı:

[-1, \infty)

.

İkinci parçanın tanım aralığındaki değerleri fonksiyonda yerine koyarak görüntü kümesi bulunur.

3

Görüntü kümelerinin birleşimini ve kesişimini incele.

Birleşim:

(-\infty, 1) \cup [-1, \infty) = \mathbb{R}

. Kesişim:

[-1, 1)

.

Örtenlik için birleşimin kodğer kümesine eşit olması, birebirlik için kesişimin boş küme olması gerekir.

4

Sonucu yorumla.

Birleşim

\mathbb{R}

olduğu için fonksiyon örtendir. Kesişim boş küme olmadığı için (örneğin

f(2.5)=0

ve

f(4)=0

) fonksiyon birebir değildir.

Tanım gereği, değer kümesindeki her elemanın en az bir karşılığı varsa örten, en fazla bir karşılığı varsa birebirdir.

Key Concept

Parçalı Fonksiyonlarda Birebir ve Örtenlik

Hints

1

Her iki parçanın görüntü kümesini (alabileceği değer aralıklarını) ayrı ayrı hesaplayın.

2

Birinci parça için

x < 3

olduğunda

2x - 5

ifadesinin hangi aralıkta değer alacağını bulun.

3

Bulduğunuz iki aralığın birleşiminin tüm reel sayıları örtüp örtmediğine ve aralıkların kesişip kesişmediğine (çakışma olup olmadığına) bakın.

Practice More

Benzer bir soruyu, parçaların görüntü kümeleri arasında boşluk kalacak şekilde (örneğin

x < 3

için

x-5

ve

x \ge 3

için

x+2

) çözerek 'içine fonksiyon' kavramını pekiştirin.

Estimated Time:2m 30s

Question 4Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonları için; $f$ sabit fonksiyon, $g$ birim fonksiyondur.

f(x) = \frac{(a-2)x^2 + (b-3)x + c}{3x^2 + 1}

g(x) = (m-2)x + n + 1

eşitlikleri veriliyor.

f(2023) + g(4) = 7

olduğuna göre, $a + b + c + m + n$ toplamı kaçtır?

11

13

16

19

21

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

a, b, c, m ve n değerlerinin toplamı 19'dur.

Birim fonksiyon tanımından g(x)=x, dolayısıyla g(4)=4 bulunur. Verilen eşitlikten f(x)'in sabit değerinin 3 olduğu anlaşılır. f(x)=3 eşitliğinden payın, paydanın 3 katı olması gerektiği (3(3x²+1) = 9x²+3) görülür. Polinom eşitliğinden a=11, b=3, c=3, m=3, n=-1 bulunur. Toplamları 19'dur.

Step-by-Step Solution

1

g(x) birim fonksiyon olduğu için g(x) = x kuralını uygula ve verilen g(x) polinomundaki katsayıları buna eşitle.

g(x) = (m-2)x + n + 1 = 1x + 0 olduğundan; m-2=1 ⇒ m=3 ve n+1=0 ⇒ n=-1 bulunur.

Birim fonksiyon, her elemanı kendisine eşleyen (katsayısı 1, sabit terimi 0 olan) fonksiyondur.

2

Verilen f(2023) + g(4) = 7 eşitliğini kullanarak f fonksiyonunun sabit değerini (k) bul.

g(4) = 4 (birim fonksiyon). f(2023) + 4 = 7 ⇒ f(2023) = 3. f sabit fonksiyon olduğundan her x için f(x) = 3'tür.

Sabit fonksiyon her girdi için aynı çıktıyı verir.

3

f(x) rasyonel ifadesini sabit değer olan 3'e eşitle ve İçler-Dışlar çarpımı yaparak katsayıları bul.

[(a-2)x² + (b-3)x + c] / (3x² + 1) = 3 ⇒ (a-2)x² + (b-3)x + c = 9x² + 3. Buradan; a-2=9 ⇒ a=11, b-3=0 ⇒ b=3, c=3 bulunur.

İki polinomun eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşittir.

4

Bulunan tüm değerleri topla.

a+b+c+m+n = 11 + 3 + 3 + 3 + (-1) = 19.

Sonuç hesabı.

Key Concept

Sabit fonksiyon f(x)=c formundadır. Birim fonksiyon g(x)=x formundadır. Rasyonel bir ifadenin sabit fonksiyon olması için pay ve payda arasındaki katsayı oranlarının eşit olması veya payın paydanın bir katı olması gerekir.

Hints

1

Birim fonksiyon g(x) = x kuralına sahiptir. Öncelikle g(4)'ün değerini bulun.

2

f(2023) + g(4) = 7 eşitliğinde g(4) yerine 4 yazarak f fonksiyonunun sabit değerini (k) hesaplayın. f(x) her zaman bu k sayısına eşittir.

3

f(x) = 3 bulduktan sonra, verilen kesirli ifadeyi 3'e eşitleyin: Pay = 3 × Payda. Polinomların katsayılarını eşitleyerek a, b, c'yi bulun.

Estimated Time:2m 30s

Question 5Question →

$A = \{a, b, c\}$ ve $B = \{1, 2, 3, 4\}$ kümeleri veriliyor. Aşağıdaki Venn şemasında $A$ kümesinden $B$ kümesine tanımlı bir $f$ fonksiyonu gösterilmiştir.

Buna göre, tanım kümesindeki her bir elemanın değer kümesinde birbirinden farklı elemanlarla eşleştiği bu $f$ fonksiyonunun çeşidi aşağıdakilerden hangisidir?

Sabit fonksiyon

Birim fonksiyon

Birebir fonksiyon

Örten fonksiyon

Çift fonksiyon

Show answer & explanation

Answer: Birebir fonksiyon

Answer

Verilen şemadaki fonksiyon, her elemanı farklı bir görüntüye eşlediği için birebir fonksiyondur.

Tanım kümesi olan

A

kümesindeki

\{a, b, c\}

elemanlarının her biri, değer kümesi olan

B

kümesinde farklı birer sayıya (

2, 4

ve

1

) gitmektedir. Hiçbir iki eleman aynı sayıya gitmediği için bu durum 'birebir' olma şartını tam olarak karşılar.

Step-by-Step Solution

1

Eşleşmeleri kontrol edin

f(a)=2, f(b)=4, f(c)=1

Fonksiyonun her eleman için hangi değeri aldığını belirlemek gerekir.

2

Görüntüleri karşılaştırın

2 \neq 4 \neq 1

Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntülerinin aynı olup olmadığını anlamak için karşılaştırma yapılır.

3

Fonksiyon çeşidini belirleyin

Birebir fonksiyon

Farklı elemanların görüntüleri de farklı olduğu için bu durum birebir fonksiyon tanımına uyar.

Key Concept

Birebir Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsünün birbirinden farklı olması durumudur.

Hints

1

Tanım kümesindeki her bir elemanın gittiği sayıya bakın. Hepsi farklı bir yere mi gidiyor?

2

Eğer farklı oklar farklı hedeflere ulaşıyorsa, bu o fonksiyonun 'tekil eşleşme' yaptığını yani birebir olduğunu gösterir.

3

f(a)=2, f(b)=4, f(c)=1

sonuçlarının hepsi birbirinden farklıdır. Bu özellik hangi fonksiyon çeşidini tanımlar?

Practice More

Değer kümesindeki boşta kalan elemanı da kullanarak fonksiyonun neden 'içine' olduğunu inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Değer kümesindeki her elemana en fazla bir okun geldiğini kontrol ederek de birebirliği anlayabilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 6Question →

Tanımlı oldukları en geniş aralıklarda

f

sabit,

g

birim fonksiyondur.

f(x) = \frac{ax + 12}{3x - b}

g(x) = (c + 2)x^2 + (d - 3)x + k - 5

eşitlikleri veriliyor.

f(d) = g(c)

olduğuna göre,

a + b + d

toplamı kaçtır?

3

4

-8

13

16

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

İstenen toplamın değeri 4'tür.

Doğru cevap 4'tür çünkü birim fonksiyon tanımından d=4 bulunur; bu değer f fonksiyonunun sabit değerini -2 olarak belirler. Sabit fonksiyon katsayı oranlarından a=-6 ve b=6 elde edilir. Toplamları 4 eder.

Step-by-Step Solution

1

Birim fonksiyon g(x) = x tanımını kullanarak katsayıları analiz et.

x² terimi olmamalı, x'in katsayısı 1 olmalı: c+2=0 ⇒ c=-2 ve d-3=1 ⇒ d=4.

Birim fonksiyon her elemanı kendisine eşler (g(x)=x), bu yüzden x dışındaki terimlerin katsayıları sıfırlanmalı, x'in katsayısı 1 olmalıdır.

2

f(d) = g(c) eşitliğini kullanarak sabit fonksiyonun değerini bul.

f(4) = g(-2). g birim fonksiyon olduğundan g(-2) = -2. O halde f(x) = -2 (sabit).

g fonksiyonunun özelliği kullanılarak eşitliğin sağ tarafı hesaplanır. f sabit olduğu için tüm x değerleri için sonuç -2 olacaktır.

3

Sabit fonksiyon şartı (oran orantı) ile a ve b değerlerini bul.

a/3 = 12/(-b) = -2 (Fonksiyon değeri). Buradan a = -6 ve b = 6 bulunur.

Rasyonel ifadenin sabit fonksiyon olması için pay ve paydadaki derecelerin katsayıları orantılı olmalı ve bu oran fonksiyonun sabit değerine eşit olmalıdır.

4

Bulunan değerleri topla.

a + b + d = (-6) + 6 + 4 = 4.

Soruda istenen nihai işlem gerçekleştirilir.

Key Concept

Rasyonel fonksiyonun sabit olması için katsayılar oranı eşit olmalı (

a/c = b/d = k

); birim fonksiyonda ise

g(x)=x

formunda katsayılar ayarlanmalıdır.

Hints

1

Birim fonksiyon

g(x) = x

kuralına sahiptir. Bu, polinomdaki x'li terimin katsayısının 1, diğer tüm katsayıların 0 olması demektir.

Practice More

Benzer yapıda, f(x) fonksiyonunun birim, g(x) fonksiyonunun sabit olduğu ve bileşke fonksiyon içeren sorular çözülebilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 7Question →

$K = \{2, 4, 6\}$ kümesi üzerinde tanımlı $f: K \rightarrow K$ fonksiyonunun Venn şeması ile gösterimi aşağıda verilmiştir. Bu şemada her eleman oklarla kendisiyle eşleşmiştir. Buna göre, bu $f$ fonksiyonunun türü aşağıdakilerden hangisidir?

Sabit Fonksiyon

Birim Fonksiyon

İçine Fonksiyon

Ters Fonksiyon

Parçalı Fonksiyon

Show answer & explanation

Answer: Birim Fonksiyon

Answer

Verilen eşleşme kuralına göre her eleman kendisine gittiği için bu bir birim fonksiyondur.

Birim fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı değer kümesinde yine kendisine eşleyen fonksiyondur. Şemada görüldüğü üzere 2 sayısı 2'ye, 4 sayısı 4'e ve 6 sayısı 6'ya gitmektedir. Bu durum

f(x) = x

kuralına karşılık geldiği için doğru cevap birim fonksiyondur.

Step-by-Step Solution

1

Şemadaki okları takip ederek her elemanın hangi sayıya gittiğini belirle.

f(2) = 2

,

f(4) = 4

ve

f(6) = 6

olduğu görülür.

Fonksiyonun tanım kümesindeki elemanların değerlerini nasıl değiştirdiğini anlamak için.

2

Eşleşme kuralını (fonksiyonun genel biçimini) tespit et.

f(x) = x

kuralı geçerlidir.

Her elemanın kendisiyle eşleştiğini matematiksel olarak ifade etmek için.

3

Bu kurala uyan fonksiyon çeşidinin adını hatırla.

Tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyon 'Birim Fonksiyon'dur.

Kavramsal tanımı kullanarak doğru türü belirlemek için.

Key Concept

Birim (Özdeşlik) Fonksiyon Tanımı

Hints

1

Şemada sol taraftaki sayıların her birinin sağ tarafta hangi sayıya gittiğini tek tek takip edin.

2

Okların uçlarına baktığınızda, bir sayının (örneğin 4'ün) yine aynı sayıya mı gittiğini yoksa başka bir sayıya mı yöneldiğini kontrol edin.

3

Her elemanın 'kendisiyle' eşleştiği fonksiyonlara matematikte ne isim verildiğini düşünün (İpucu: 'Ne girerse o çıkar' kuralı).

Practice More

Eğer şemadaki tüm oklar sadece 4 sayısına gitseydi, bu fonksiyonun türü ne olurdu? (Cevap: Sabit Fonksiyon)

Alternative Method

f(2)=2, f(4)=4, f(6)=6

eşitliklerini yazdıktan sonra fonksiyonun kuralının

f(x)=x

olduğunu görebiliriz. Bu kural birim fonksiyonun temel tanımıdır.

Estimated Time:45s

Question 8Question →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi örten (surjective) bir fonksiyon olmasına rağmen birebir (injective) değildir?

f(x) = 2x + 1

f(x) = \begin{cases} x+1 & x \ge 0 \\ x & x < 0 \end{cases}

f(x) = 1 - x

f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & x \text{ çift ise} \\ \frac{x-1}{2} & x \text{ tek ise} \end{cases}

f(x) = x^3

Show answer & explanation

Answer: $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & x \text{ çift ise} \\ \frac{x-1}{2} & x \text{ tek ise} \end{cases}$

Answer

Parçalı olarak tanımlanan

f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & x \text{ çift} \\ \frac{x-1}{2} & x \text{ tek} \end{cases}

fonksiyonu.

Verilen parçalı fonksiyon, tüm tam sayıları (örtenlik) çift sayılar dalı üzerinden elde edebilir (

f(2y)=y

). Ancak, tek ve çift sayıların görüntüleri çakışabildiği için (örneğin

f(0)=0

ve

f(1)=0

) birebir değildir. Bu durum, sonsuz kümelerde bir fonksiyonun örten olup birebir olmamasının klasik bir örneğidir.

Step-by-Step Solution

1

Örtenlik testi: Değer kümesindeki (

\\mathbb{Z}

) her elemanın en az bir kez görüntülenip görüntülenmediğini kontrol et.

D seçeneğinde, her

y \\in \\mathbb{Z}

sayısı için

x = 2y

(çift sayı) seçilirse

f(2y) = 2y/2 = y

olur. Yani tüm tam sayılar elde edilebilir, fonksiyon örtendir.

Bir fonksiyonun örten olması için değer kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.

2

Birebirlik testi: Tanım kümesindeki farklı elemanların aynı görüntüye gidip gitmediğini kontrol et.

D seçeneğinde,

f(0) = 0/2 = 0

ve

f(1) = (1-1)/2 = 0

bulunur.

0 \\neq 1

olmasına rağmen

f(0) = f(1)

olduğundan fonksiyon birebir değildir.

Farklı girdiler aynı çıktıyı veriyorsa fonksiyon birebir olamaz.

3

Diğer seçenekleri ele.

f(x)=2x+1

(Tek sayıları örter, çiftleri örtmez),

f(x)=1-x

(Hem birebir hem örtendir),

f(x)=x^3

(Sadece küpleri örter), B seçeneği (0 değerini almaz).

Soru bizden 'Örten OLSUN ama Birebir OLMASIN' şartını sağlayan tek fonksiyonu istemektedir.

Key Concept

Örten fonksiyon, değer kümesindeki her elemanın eşleştiği fonksiyondur. Birebir fonksiyon ise her elemanın farklı bir görüntüye sahip olduğu fonksiyondur.

\\mathbb{Z}

gibi sonsuz kümelerde bu iki özellik bağımsız olabilir.

Hints

1

Fonksiyonun örten olması için

\mathbb{Z}

'deki HER sayının sonuç olarak çıkabilmesi gerekir.

2

Birebir olmaması için, farklı iki

x

değerinin (örneğin 0 ve 1) aynı sonucu vermesi gerekir.

3

Parçalı fonksiyonda çift sayıları (

2k

) kullanarak tüm tam sayıları elde edip edemeyeceğinizi kontrol edin.

Estimated Time:2m 0s

Question 9Question →

$A = \{1, 2, 3\}$ ve $B = \{k, l, m, n\}$ kümeleri verilmiştir. Aşağıdaki şemada $A$ kümesinden $B$ kümesine tanımlı bir $f$ fonksiyonunun eşleşmeleri gösterilmiştir.

Buna göre, şemada özellikleri belirtilen $f$ fonksiyonunun çeşidi aşağıdakilerden hangisidir?

Sabit Fonksiyon

Birim Fonksiyon

Örten Fonksiyon

Birebir Fonksiyon

Birebir ve Örten Fonksiyon

Show answer & explanation

Answer: Birebir Fonksiyon

Answer

Verilen şemada her eleman farklı bir görüntüye gittiği için fonksiyon Birebir Fonksiyondur.

Doğru cevap olan seçenek, tanım kümesindeki her elemanın (1, 2, 3) değer kümesindeki farklı bir elemanla (m, k, n) eşleştiğini doğru bir şekilde ifade eder. Bu durum birebir fonksiyonun temel tanımıdır.

Step-by-Step Solution

1

Eşleşmeleri listeleyelim.

f(1)=m

,

f(2)=k

,

f(3)=n

Fonksiyonun davranışını net bir şekilde görmek için şemadaki okları takip ederiz.

2

Birebirliği kontrol edelim.

m \neq k \neq n

Tanım kümesindeki her eleman (1, 2, 3) farklı bir görüntüye (m, k, n) gittiği için fonksiyon birebirdir.

3

Örtenliği kontrol edelim.

B

kümesindeki '

l

' elemanı açıkta kalmıştır.

Değer kümesinde (B) eşleşmeyen en az bir eleman bulunduğu için fonksiyon örten değildir (içine fonksiyondur).

4

Sonucu belirleyelim.

Birebir Fonksiyon

Sadece birebir olma şartı sağlandığı için fonksiyon çeşidi budur.

Key Concept

Birebir Fonksiyon Tanımı: Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsünün farklı olmasıdır.

Hints

1

Tanım kümesindeki her eleman farklı bir elemana mı gidiyor yoksa bazıları aynı elemanla mı eşleşmiş?

2

Sağdaki B kümesinde açıkta kalan, yani kendisine hiç ok gelmeyen bir eleman var mı?

3

Her eleman farklı bir yere gittiği için 'birebir'dir; ancak 'l' elemanı boşta kaldığı için 'örten' değildir.

Practice More

B kümesinden 'l' elemanını çıkarırsak fonksiyonun çeşidinde ne gibi bir değişiklik olur?

Alternative Method

Fonksiyonu sıralı ikililer kümesi olarak yazarak da görebilirsiniz:

f = \{(1, m), (2, k), (3, n)\}

. İkinci bileşenlerin hepsi birbirinden farklı olduğu için fonksiyon birebirdir.

Estimated Time:45s

Question 10Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ birim fonksiyon ve $g$ sabit fonksiyondur.

A = \mathbb{R} - \{3\}

ve

B = \mathbb{R} - \{2\}

olmak üzere,

h: A \rightarrow B

fonksiyonu,

h(x) = \frac{ax + 4}{x - b}

şeklinde tanımlanmış olup birebir ve örtendir.

f(a+b) + g(2023) = 9

olduğuna göre, $(h \circ g)(5)$ ifadesinin değeri kaçtır?

7

8

10

12

14

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Doğru cevap 12'dir.

Soruda verilen fonksiyon çeşitlerinin özellikleri kullanılarak bilinmeyenler bulunmalıdır.

h(x) = \frac{ax+4}{x-b}

fonksiyonu için tanım kümesinden çıkarılan eleman paydayı sıfır yapan değerdir (

x=b

), değer kümesinden çıkarılan eleman ise

\frac{a}{1}=a

değeridir. Kümeler

\mathbb{R}-\{3\}

ve

\mathbb{R}-\{2\}

verildiğinden

b=3

ve

a=2

bulunur.

f

birim fonksiyon olduğundan

f(a+b)=f(5)=5

olur. Denklemde yerine yazılırsa

5 + g(2023) = 9

işleminden

g(2023)=4

bulunur.

g

sabit fonksiyon olduğundan her

x

için

g(x)=4

'tür. İstenen

(h \circ g)(5)

değeri

h(g(5))=h(4)

olarak hesaplanır.

h(4) = \frac{2(4)+4}{4-3} = 12

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

h fonksiyonunun tanım ve değer kümelerinden a ve b sabitlerini belirle.

b=3

ve

a=2

Tanım kümesi

\mathbb{R}-\{3\}

olduğundan paydayı sıfır yapan değer

x=3

'tür (

3-b=0 \Rightarrow b=3

). Değer kümesi

\mathbb{R}-\{2\}

olduğundan yatay asimptot

y=a/1=2

'dir (

a=2

).

2

Verilen denklemde a ve b değerlerini yerine yazarak g fonksiyonunun sabit değerini bul.

g(x) = 4

f(a+b) + g(2023) = 9 \Rightarrow f(5) + g(2023) = 9

. f birim fonksiyon olduğundan

f(5)=5

.

5 + g(2023) = 9 \Rightarrow g(2023)=4

. g sabit fonksiyon olduğundan her x için

g(x)=4

.

3

Bileşke fonksiyon değerini hesapla.

12

(h \circ g)(5) = h(g(5)) = h(4)

. Fonksiyonda yerine koyarsak:

h(4) = \frac{2(4)+4}{4-3} = \frac{12}{1} = 12

.

Key Concept

Rasyonel fonksiyonların birebir ve örten olması için tanım kümesinden paydayı sıfır yapan değerin, değer kümesinden ise asimptot değerinin çıkarılması gerekir.

Hints

1

Rasyonel bir fonksiyonun tanım kümesinden çıkarılan sayı paydayı sıfır yapar.

2

Birebir ve örten rasyonel fonksiyonlarda değer kümesinden çıkarılan sayı, x'lerin katsayıları oranıdır (yatay asimptot).

3

a=2 ve b=3 bulduktan sonra, f'nin birim (içi dışı bir) ve g'nin sabit (her zaman aynı değer) olduğunu unutmayınız.

Alternative Method

Tersi alınan fonksiyon yöntemiyle de çözülebilir:

h(x)

birebir ve örten ise tersi de fonksiyondur.

h^{-1}(x)

bulunduğunda tanım kümesindeki kısıtlama a'yı, değer kümesindeki kısıtlama b'yi verir.

Estimated Time:2m 30s

Question 11Question →

$f$ birim (özdeş) fonksiyon ve $g$ sabit fonksiyon olmak üzere,

f(2x + b) = (a - 1)x + 5

g(x) = \frac{ax + 12}{3x + c}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

**Buna göre, $b + c$ toplamı kaçtır?**

7

8

14

17

20

Show answer & explanation

Answer: 17

Answer

Birim ve sabit fonksiyon tanımları kullanıldığında

b+c

toplamı 17 olarak bulunur.

Birim fonksiyon tanımına göre

f(2x+b) = 2x+b

olmalıdır. Buradan

2x+b = (a-1)x+5

eşitliğinden

a-1=2 \implies a=3

ve

b=5

bulunur. Sabit fonksiyonda değişkenlerin katsayıları oranı sabitlerin oranına eşit olduğu için

a/3 = 12/c

yazılır.

a=3

için

3/3 = 12/c \implies c=12

bulunur. Sonuç olarak

b+c = 5+12=17

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Birim fonksiyonun tanımını uygulama

f(2x + b) = 2x + b

olmalıdır.

Birim (özdeş) fonksiyon, her elemanı kendisine eşleyen (

f(x)=x

) fonksiyondur.

2

Parametreleri bulma (

a

ve

b

)

a - 1 = 2 \Rightarrow a = 3

ve

b = 5

bulunur.

Polinom eşitliği gereği aynı dereceli terimlerin katsayıları ve sabit terimler birbirine eşit olmalıdır.

3

Sabit fonksiyon tanımını uygulama

g(x) = \frac{3x + 12}{3x + c}

ifadesinde

\frac{3}{3} = \frac{12}{c}

olmalıdır.

Rasyonel bir fonksiyonun sabit fonksiyon olabilmesi için pay ve paydadaki değişkenlerin katsayıları oranı, sabit terimlerin oranına eşit olmalıdır.

4

Son parametreyi bulma (

c

)

1 = \frac{12}{c} \Rightarrow c = 12

elde edilir.

Oranlar eşitlendiğinde içler dışlar çarpımı veya sadeleştirme ile sonuca ulaşılır.

5

İstenen toplamı hesaplama

b + c = 5 + 12 = 17

bulunur.

Soru kökünde istenen

b

ve

c

değerleri toplanır.

Key Concept

Birim fonksiyon tanımı ve rasyonel sabit fonksiyon olma şartı

Hints

1

Birim fonksiyon, içine giren her şeyi aynen dışarı çıkaran fonksiyondur.

2

f(2x+b)

ifadesini

2x+b

olarak yazıp katsayıları eşitleyerek

a

ve

b

değerlerini bulmayı dene.

3

Rasyonel bir fonksiyonun sabit olması için

x

'li terimlerin birbirini yok etmesi, yani katsayılarının oranının sabit terimlerin oranına eşit olması gerekir.

Practice More

Birim fonksiyonun grafik üzerindeki gösterimi ile sabit fonksiyonun grafiği arasındaki farkları inceleyiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 12Question →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesi üzerinde tanımlı, birebir ve örten $f: A \rightarrow A$ fonksiyonları ele alınıyor. Bu fonksiyonlardan kaç tanesi $|f(1) - f(2)| = 2$ koşulunu sağlar?

24

30

36

48

120

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Koşulu sağlayan 36 farklı fonksiyon tanımlanabilir.

İstenen koşul

|f(1) - f(2)| = 2

dir. Bu koşulu sağlayan sayı çiftleri

\{1,3\}, \{2,4\}, \{3,5\}

kümeleridir. Her küme için elemanlar kendi arasında yer değiştirebileceğinden (örneğin

f(1)=1, f(2)=3

veya

f(1)=3, f(2)=1

) toplam

3 \times 2 = 6

farklı başlangıç durumu vardır. Fonksiyon birebir ve örten olduğu için, geriye kalan 3 eleman (

3, 4, 5

) boşta kalan 3 görüntüye

3! = 6

farklı şekilde eşleşir. Çarpma kuralı gereği toplam fonksiyon sayısı

6 \times 6 = 36

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Koşulu sağlayan görüntü ikililerini belirle

|f(1) - f(2)| = 2

olması için

(f(1), f(2))

ikilisi şu değerleri alabilir:

(1,3), (3,1), (2,4), (4,2), (3,5), (5,3)

.

Görüntü kümesindeki elemanlar arasındaki farkın mutlak değerce 2 olduğu tüm durumlar listelenmelidir.

2

İlk iki eleman için durum sayısını hesapla

Toplam 6 farklı

(f(1), f(2))

ikilisi vardır.

Listelenen ikililerin sayısı sayma işleminin ilk çarpanıdır.

3

Geriye kalan elemanların eşleşme sayısını hesapla

Geriye kalan 3 eleman (

3, 4, 5

) boşta kalan 3 değere

3! = 6

farklı şekilde eşleşebilir.

Fonksiyon birebir ve örten olduğu için kalan elemanlar kendi aralarında yer değiştirebilir (permütasyon).

4

Toplam fonksiyon sayısını bul

6 \times 6 = 36

.

Saymanın çarpma kuralı gereği, ilk aşamadaki durum sayısı ile ikinci aşamadaki durum sayısı çarpılır.

Key Concept

Birebir ve Örten Fonksiyon Sayısı (Permütasyon)

Hints

1

Önce

f(1)

ve

f(2)

değerlerinin alabileceği ikilileri listeleyerek başlayın.

2

A kümesinde aralarındaki fark mutlak değerce 2 olan kaç sayı çifti var? (Örneğin 1 ve 3 gibi). Bunların kendi aralarındaki yer değişimini de unutmayın.

3

f(1)

ve

f(2)

belirlendikten sonra, geriye kalan 3 elemanın kaç farklı şekilde eşleşebileceğini düşünün (Permütasyon).

Practice More

Benzer bir soruyu

|f(1) - f(2)| \ge 3

koşulu ile çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Tüm ikililer için bir tablo oluşturup farkı 2 olanları işaretleyerek görsel bir sayım yapılabilir, ardından kalanlar için permütasyon uygulanır.

Estimated Time:2m 0s

Question 13Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonları için $f$ birim fonksiyon, $g$ ise sabit fonksiyondur.

g(x) = f(m) - 6

f(2x + g(x)) = (n-1)x + 3m - 2

eşitlikleri her

x

gerçel sayısı için sağlanmaktadır.

Buna göre, $f(n) + g(m)$ ifadesinin değeri kaçtır?

-8

-7

-5

-1

1

Show answer & explanation

Answer: -5

Answer

İstenen ifadenin değeri -5'tir.

Birim fonksiyon (

f(x)=x

) ve sabit fonksiyon (

g(x)=k

) tanımları kullanılarak elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemi çözüldüğünde

n=3

,

m=-2

ve

g(x)=-8

bulunur. Buradan

f(n)+g(m) = 3 + (-8) = -5

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyon tanımlarını belirle

f(x) = x

(birim) ve

g(x) = k

(sabit,

k \in \mathbb{R}

).

Soruda verilen fonksiyon türlerinin matematiksel tanımlarının kullanılması gerekir.

2

Birinci eşitliği kullanarak k ve m arasındaki ilişkiyi bul

k = m - 6

g(x)=k

ve

f(m)=m

olduğundan

g(x) = f(m) - 6

eşitliği

k = m - 6

haline gelir.

3

İkinci eşitliği düzenle ve polinom eşitliğini kur

2x + k = (n-1)x + 3m - 2

f

birim fonksiyon olduğundan

f(2x + g(x)) = 2x + k

olur. Bu ifade verilen eşitliğin sağ tarafına denktir.

4

x'in katsayılarını eşitleyerek n değerini bul

2 = n - 1 \Rightarrow n = 3

Eşitliğin her x için sağlanması için x'li terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.

5

Sabit terimleri eşitleyerek m ve k değerlerini bul

k = 3m - 2

ve

k = m - 6

denklemlerinden

m - 6 = 3m - 2 \Rightarrow -4 = 2m \Rightarrow m = -2

. Buradan

k = -8

.

Sabit terimlerin eşitliğinden elde edilen denklem sistemi çözülür.

6

İstenen

f(n) + g(m)

değerini hesapla

f(3) + g(-2) = 3 + (-8) = -5

f(3)=3

ve

g

sabit fonksiyon olduğundan

g(-2)=-8

değerleri toplanır.

Key Concept

Birim ve Sabit Fonksiyon Tanımları

Hints

1

f

birim fonksiyon ise

f(x)=x

,

g

sabit fonksiyon ise

g(x)=k

şeklinde yazarak başlayın.

2

İkinci eşitlikte

f(2x+g(x))

ifadesini

2x+k

olarak açıp, sağ taraftaki polinom ile katsayı eşitlemesi yapın.

Practice More

Sabit fonksiyonun rasyonel ifade olarak verildiği (

f(x) = (ax+b)/(cx+d)

) ve oran orantı kullanılması gereken soruları inceleyiniz.

Alternative Method

Polinom eşitliği yerine,

x

değişkenine özel değerler (örneğin

x=0

) vererek denklem sistemi elde edilebilir, ancak polinom katsayı eşitlemesi genel çözüm için daha güvenilirdir.

Estimated Time:2m 30s

Question 14Question →

$f$ birim (özdeş) fonksiyon ve $g$ sabit fonksiyondur.

g(x-5) = f(a-4)

f(b) + g(a) = 13

f(b) - g(b) = 7

olduğuna göre, $f(a+b)$ ifadesinin değeri kaçtır?

10

13

17

20

23

Show answer & explanation

Answer: 17

Answer

Birim fonksiyonun özelliği gereği

f(a+b) = a+b

olduğundan ve denklemlerden

a=7, b=10

bulunduğundan doğru cevap 17'dir.

Birim fonksiyon tanımına göre

f(x)=x

olduğu için

f(a-4)=a-4

olur. Sabit fonksiyon tanımına göre

g(x-5)=c

olduğu için

c=a-4

eşitliği kurulur. Soruda verilen diğer denklemlerde

f(b)=b

ve

g(a)=c

ile

g(b)=c

yazıldığında;

b+c=13

ve

b-c=7

sistemi elde edilir. Bu sistemden

b=10

ve

c=3

bulunur.

c=a-4

olduğundan

3=a-4 \Rightarrow a=7

elde edilir. İstenen

f(a+b) = a+b = 7+10 = 17

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyon türlerini tanımla.

f(x) = x

ve

g(x) = c

(sabit)

Birim fonksiyon her elemanı kendisine, sabit fonksiyon ise her elemanı aynı sabit sayıya eşler.

2

g(x-5) = f(a-4)

eşitliğini düzenle.

c = a - 4

yani

a - c = 4

Sabit fonksiyonun her değeri

c

iken, birim fonksiyon içerideki ifadeyi dışarıya aynen çıkarır.

3

Diğer iki denklemi

b

ve

c

cinsinden yaz ve çöz.

b + c = 13

ve

b - c = 7

denklemlerinden

2b = 20 \Rightarrow b = 10

ve

c = 3

bulunur.

Taraf tarafa toplama yöntemiyle

c

yok edilerek

b

değeri elde edilir.

4

a

değerini bul ve istenen ifadeyi hesapla.

a - 3 = 4 \Rightarrow a = 7

olur.

f(a+b) = f(7+10) = f(17) = 17

.

f

birim fonksiyon olduğu için toplamın değeri kendisine eşittir.

Key Concept

Birim fonksiyon

f(x)=x

kuralı ile, sabit fonksiyon ise

g(x)=c

kuralı ile çalışır.

Hints

1

Birim fonksiyonun 'içi neyse dışı da odur' kuralını hatırla.

2

Sabit fonksiyonun içindeki değişken ne olursa olsun sonucun değişmeyeceğini kullanarak denklemleri sadeleştir.

3

f(b)=b

ve

g(a)=g(b)=c

yazarak

b+c=13

ve

b-c=7

denklemlerini taraf tarafa topla.

Practice More

Farklı fonksiyon türlerinin (tek-çift fonksiyonlar gibi) bir arada verildiği sistemleri inceleyebilirsin.

Estimated Time:1m 30s

Question 15Question →

$A = \{1, 2, 3\}$ kümesi üzerinde tanımlı $f$ fonksiyonu sabit fonksiyon, $g$ fonksiyonu ise birim fonksiyondur.

f(1) + g(2) = 5

olduğuna göre, $f(3) + g(1)$ işleminin sonucu kaçtır?

3

4

5

6

7

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Sabit fonksiyonun değeri 3, birim fonksiyonun değeri 1 olduğu için toplam 4'tür.

Birim fonksiyonun tanımı gereği

g(2)=2

ve

g(1)=1

olur. Soruda verilen

f(1) + g(2) = 5

denkleminde

g(2)

yerine

2

yazıldığında

f(1) + 2 = 5

bağıntısından

f(1) = 3

bulunur. Fonksiyonun sabit olduğu belirtildiği için her

x

değeri için

f(x)=3

olmalıdır, yani

f(3)=3

değerini alır. Son olarak

f(3) + g(1) = 3 + 1 = 4

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Birim fonksiyonun tanımını uygulamak

g(2) = 2

ve

g(1) = 1

Birim fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen (

g(x)=x

) fonksiyondur.

2

Verilen eşitliği kullanarak sabit fonksiyonun değerini bulmak

f(1) + 2 = 5 \Rightarrow f(1) = 3

Eşitlikte

g(2)

yerine

2

yazılarak sabit fonksiyonun

1

noktasındaki değeri hesaplanır.

3

Sabit fonksiyonun genel kuralını belirlemek

f(3) = 3

Sabit fonksiyon, tanım kümesindeki tüm elemanları değer kümesindeki aynı elemana götürür (

f(x)=c

).

4

İstenen toplamı hesaplamak

f(3) + g(1) = 3 + 1 = 4

Bulunan

f(3)=3

ve

g(1)=1

değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Sabit ve Birim Fonksiyon Tanımları

Hints

1

Birim fonksiyonun özelliğini hatırla:

g(x)

her zaman

x

değerine eşittir.

2

Sabit fonksiyonda içerideki sayı ne olursa olsun sonuç hep aynıdır.

f(1)

değerini bulursan

f(3)

de ona eşittir.

3

g(2)=2

bilgisini denklemde yerine koyarak

f(1)

'i, ardından

f(3)

'ü bulup

g(1)=1

ile topla.

Practice More

Benzer bir soruyu, sabit fonksiyonun değerini bilinmeyen bir 'k' sabiti olarak belirleyerek çözmeyi deneyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 15s

Question 16Question →

Aşağıda tanım ve değer kümeleri ile kuralları verilen fonksiyonlardan hangisi örten bir fonksiyon olduğu halde birebir değildir?

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = 3x - 2

f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, f(x) = 2x + 1

f: \mathbb{R} \rightarrow [0, \infty), f(x) = x^2

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, f(x) = x + 3

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = 5

Show answer & explanation

Answer: $f: \mathbb{R} \rightarrow [0, \infty), f(x) = x^2$

Answer

f: \mathbb{R} \rightarrow [0, \infty), f(x) = x^2

fonksiyonu

f(x) = x^2

fonksiyonu,

\mathbb{R}

'den

[0, \infty)

aralığına tanımlandığında, negatif olmayan tüm reel sayıları sonuç olarak verebilir (Örtendir). Ancak

f(-x) = f(x)

olduğu için (örneğin

f(-3)=9

ve

f(3)=9

), farklı girdiler aynı sonucu verir. Bu durum fonksiyonun birebir olma şartını bozar.

Step-by-Step Solution

1

İstenen durumu analiz et

Fonksiyonun Örten (Değer kümesindeki tüm elemanların eşleşmesi) olması ancak Birebir (Her elemanın farklı bir görüntüye gitmesi) olmaması isteniyor.

Soruda 'örten olduğu halde birebir değildir' ifadesi yer almaktadır.

2

Doğru seçeneği (

f(x) = x^2

) incele

Tanım kümesi

\mathbb{R}

, Değer kümesi

[0, \infty)

verilmiştir.

f(-2) = 4

ve

f(2) = 4

olduğundan Birebir Değildir. Her pozitif reel sayının karekökü olduğundan Örtendir.

Yatay doğru testi yapıldığında grafik birden fazla noktada kesilir (birebir değil), ancak değer kümesinin tamamını tarar (örten).

3

Diğer seçenekleri ele

Doğrusal fonksiyonlar (

\mathbb{R} \to \mathbb{R}

) hem birebir hem örtendir.

\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}

tanımlı

2x+1

sadece tek sayıları örter, örten değildir. Sabit fonksiyon (

f(x)=5

) ise sadece tek bir noktayı örter.

Yanlış seçenekler ya her iki şartı sağlar ya da örtenlik şartını sağlamaz.

Key Concept

Birebir fonksiyon farklı girdileri farklı çıktılara götürür. Örten fonksiyon değer kümesinde açıkta eleman bırakmaz.

Hints

1

Bir fonksiyonun birebir olmaması için, en az iki farklı

x

değerinin aynı sonuca gitmesi gerekir.

2

Çift dereceli kuvvet fonksiyonlarını (

x^2, x^4

) düşünün; negatif ve pozitif sayıların kuvvetleri aynı olabilir mi?

3

f(x) = x^2

fonksiyonunda

-2

ve

2

değerlerini yerine koyarak sonuçları karşılaştırın.

Practice More

Birebir ve örten fonksiyonların tersinin alınabildiği (ters fonksiyon) durumları inceleyin.

Estimated Time:1m 30s

Question 17Question →

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ birim fonksiyon ve $g: \mathbb{R} \setminus \{-b/2\} \to \mathbb{R}$ sabit fonksiyondur.

f(2x + k) = (a - 1)x + b - 3

g(x) = \frac{(a + 1)x + 8}{2x + b}

olduğuna göre, $f(a) + g(b) + k$ toplamının değeri kaçtır?

3

4

5

6

7

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Yapılan hesaplamalar sonucunda toplamın değeri 6 olarak bulunur.

Birim fonksiyon tanımı gereği

f(2x+k)=2x+k

olur; bu da

a=3

ve

k=b-3

sonuçlarını verir. Sabit fonksiyonun rasyonel formunda katsayılar oranı sabit olduğundan

(a+1)/2 = 8/b

eşitliğinden

b=4

ve dolayısıyla

k=1

bulunur. Son olarak

f(3)=3

,

g(4)=2

ve

k=1

değerlerinin toplamı 6'dır.

Step-by-Step Solution

1

f

birim fonksiyon olduğundan

f(X) = X

özelliğini kullanın.

f(2x + k) = 2x + k

olur. Buradan

(a - 1)x + b - 3 = 2x + k

eşitliği elde edilir.

Birim fonksiyon, her elemanı kendisine eşleyen fonksiyondur.

2

Polinom eşitliği prensibine göre katsayıları karşılaştırın.

a - 1 = 2 \Rightarrow a = 3

ve

b - 3 = k

denklemleri bulunur.

Aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır.

3

g

sabit fonksiyonu için katsayılar oranını eşitleyin.

g(x) = \frac{(a + 1)x + 8}{2x + b}

sabit ise

\frac{a + 1}{2} = \frac{8}{b}

olmalıdır.

Rasyonel bir fonksiyonun sabit olması için pay ve paydasındaki aynı dereceli terimlerin katsayıları orantılı olmalıdır.

4

a = 3

değerini kullanarak

b

ve

k

parametrelerini hesaplayın.

\frac{3 + 1}{2} = \frac{8}{b} \Rightarrow 2 = \frac{8}{b} \Rightarrow b = 4

olur.

k = b - 3 = 4 - 3 = 1

bulunur.

Bir önceki adımda bulunan denklemlerin çözülmesi gerekir.

5

İstenen değerleri yerine koyarak toplamı bulun.

f(a) = f(3) = 3

(birim fonksiyon),

g(b) = g(4) = 2

(sabit değer

\frac{4}{2}=2

),

k = 1

olduğundan

3 + 2 + 1 = 6

elde edilir.

Her fonksiyonun kendi tanımı ve bulunan parametreler uygulanır.

Key Concept

Birim fonksiyon

f(x)=x

ve sabit fonksiyon

g(x)=c

tanımlarının cebirsel denklemlerde uygulanması.

Practice More

Birim ve sabit fonksiyonların bileşke fonksiyonlar içindeki davranışlarını inceleyen soruları çözebilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 18Question →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ kümesi üzerinde tanımlı $f: A \rightarrow A$ fonksiyonunun birebir olduğu bilinmektedir.

$f(1) + f(2) = 9$

şartını sağlayan kaç farklı $f$ fonksiyonu tanımlanabilir?

24

48

72

96

120

Show answer & explanation

Answer: 96

Answer

Şartı sağlayan 96 farklı fonksiyon tanımlanabilir

Soruda verilen

f(1) + f(2) = 9

şartını sağlayan sıralı ikililer tespit edilir:

(3,6), (6,3), (4,5), (5,4)

. Toplam 4 farklı durum vardır. Fonksiyon birebir olduğu için, geriye kalan 4 eleman (

3,4,5,6

), değer kümesinde boşta kalan 4 elemanla

4! = 24

farklı şekilde eşleşebilir. Toplam fonksiyon sayısı

4 \times 24 = 96

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

f(1) ve f(2) için uygun değer çiftlerini belirle

Toplamı 9 olan ve A kümesinde bulunan sayı ikilileri: (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)

Fonksiyon A'dan A'ya tanımlı olduğu için görüntüler 1 ile 6 arasında olmalıdır.

2

Birebir fonksiyon şartını kontrol et

Seçilen her çift birbirinden farklı olduğu için (örneğin 3 ve 6), birebir olma şartı bu adımda bozulmaz.

Birebir fonksiyonlarda farklı girdiler farklı çıktılara gitmelidir (

x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)

).

3

Kalan elemanların kaç farklı şekilde eşleşebileceğini hesapla

Tanım kümesinde kalan 4 eleman, değer kümesinde kalan 4 elemana

4! = 24

farklı şekilde eşleşebilir.

A kümesinin 6 elemanı vardır. 2 elemanın görüntüsü belirlendiğinde, geriye kalan 4 eleman kendi aralarında permütasyon oluşturur.

4

Toplam fonksiyon sayısını hesapla

4 farklı başlangıç durumu

\times

24 farklı sıralama = 96

Saymanın temel ilkesi (çarpma kuralı) gereği olasılıklar çarpılır.

Key Concept

Birebir fonksiyonlarda, belirli elemanların görüntüleri sabitlendiğinde geriye kalan elemanlar, kalan görüntü kümesi elemanlarıyla birebir eşleşmek zorundadır (permütasyon).

Hints

1

Önce

f(1)

ve

f(2)

'nin alabileceği değerleri listeleyin. Toplamı 9 olan kaç farklı

(x, y)

ikilisi var?

2

Fonksiyon birebir olduğu için,

f(1)

ve

f(2)

için değer seçtikten sonra, geriye kalan 4 elemanı (

3, 4, 5, 6

) kalan 4 görüntüye eşlemeniz gerekir.

3

Toplamı 9 olan 4 farklı durum vardır:

(3,6), (6,3), (4,5), (5,4)

. Her bir durum için kalan elemanlar

4!

(24) farklı şekilde sıralanır.

Practice More

Benzer bir soruyu 'f(1) < f(2)' şartıyla çözmeyi deneyin. Bu durumda permütasyon yerine kombinasyon mantığı nasıl devreye girer?

Alternative Method

Tüm birebir fonksiyon sayısı

6! = 720

'dir. İstenen şartı sağlamayanları çıkarmak yerine doğrudan istenen durumları saymak (yapıcı metot) burada daha hızlıdır.

Estimated Time:2m 0s

Question 19Question →

$A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ kümesi veriliyor.

f: A \rightarrow A

fonksiyonunun birebir olduğu ve her

x \in A

için

f(-x) = -f(x)

eşitliğini sağladığı bilinmektedir.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı $f$ fonksiyonu tanımlanabilir?

4

6

8

12

24

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Verilen koşulları sağlayan 8 farklı fonksiyon vardır.

Fonksiyonun

f(-x)=-f(x)

koşulunu sağlaması (tek fonksiyon özelliği),

f(0)=0

olmasını zorunlu kılar. Ayrıca

x

ve

-x

değerlerinin görüntüleri mutlak değerce eşit ve zıt işaretli olmalıdır (

f(x)=y \implies f(-x)=-y

).

A=\{-2,-1,0,1,2\}

kümesinde

f(1)

değeri için 0 hariç 4 seçenek vardır.

f(1)

seçildiğinde

f(-1)

otomatik belirlenir ve görüntü kümesinden 2 eleman eksilir. Geriye kalan

f(2)

için 2 seçenek kalır. Toplamda

4 \times 2 = 8

farklı fonksiyon tanımlanabilir.

Step-by-Step Solution

1

x=0

için fonksiyonun değerini belirle.

f(0) = 0

olmalıdır.

Verilen

f(-x) = -f(x)

eşitliğinde

x=0

yazılırsa,

f(0) = -f(0)

olur. Bu durumda

2f(0)=0

ve

f(0)=0

bulunur. Birebir olduğu için

0

görüntü kümesinde başka eleman tarafından kullanılamaz.

2

Tanım kümesindeki diğer elemanları gruplandır ve

f(1)

için seçenek sayısını bul.

f(1)

için 4 farklı seçenek vardır:

\{-2, -1, 1, 2\}

.

Tanım kümesinde kalan elemanlar

\{-2, -1, 1, 2\}

.

f(1)

değeri

0

olamaz (birebirliğe aykırı). Geriye kalan 4 değerden herhangi birini alabilir.

3

f(1)

seçimine bağlı olarak

f(-1)

değerini belirle.

f(-1)

tek bir değer alır (zorunlu seçim).

f(-x) = -f(x)

kuralı gereği,

f(1) = y

seçildiğinde

f(-1) = -y

olmak zorundadır. Bu adım için ekstra bir seçim hakkı oluşmaz (1 durum).

4

f(2)

için kalan seçenek sayısını hesapla.

f(2)

için 2 farklı seçenek kalır.

Görüntü kümesinde

0

,

y

ve

-y

değerleri kullanıldı. Kümede toplam 5 eleman vardı, geriye

5-3=2

eleman kaldı.

f(2)

bu iki değerden birini alabilir.

5

f(-2)

değerini belirle ve toplam fonksiyon sayısını hesapla.

Toplam sayı:

1 \times 4 \times 1 \times 2 \times 1 = 8

.

f(2)

seçilince

f(-2)

otomatik olarak belirlenir. Çarpma kuralına göre seçenekler çarpılır.

Key Concept

Birebir fonksiyonlarda simetri ve kısıtlı sayma

Hints

1

f(-x) = -f(x)

eşitliğinde

x=0

yazarak

f(0)

değerini bulunuz.

2

Birebir olduğu için kullanılan değerler tekrar kullanılamaz.

f(1)

için kaç seçenek olduğunu belirleyip, bu seçimin

f(-1)

'i nasıl etkilediğini düşününüz.

3

f(1)

değeri seçilince

f(-1)

zorunlu olarak belirlenir. Bu işlem görüntü kümesinden iki elemanı eksiltir. Kalan elemanlar

f(2)

için kullanılabilir.

Practice More

Aynı küme üzerinde tanımlı, birebir ve f(-x) = f(x) (çift fonksiyon) koşulunu sağlayan kaç fonksiyon vardır sorusu ile simetri kavramını pekiştirin.

Alternative Method

Olası fonksiyonları eşleşme diyagramı çizerek somutlaştırabilirsiniz: 0→0 sabittir. {1, -1} çifti {a, -a} çiftine gitmelidir. Kümede iki tane {a, -a} çifti vardır ({1,-1} ve {2,-2}). 1 sayısı bu 4 değerden birine gittiğinde çifti kilitlenir.

Estimated Time:3m 0s

Question 20Question →

$A = \{a, b, c, d, e\}$ ve $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ kümeleri veriliyor. $A$ kümesinden $B$ kümesine tanımlı $f$ fonksiyonunun birebir (1-1) olduğu bilinmektedir.

$f$ fonksiyonu için aşağıdaki şartlar sağlanmaktadır:
1. $f(a) + f(b) = 7$
2. $f(c)$ değeri bir tek sayıdır.

Buna göre, bu şartları sağlayan kaç farklı $f$ fonksiyonu tanımlanabilir?

36

48

72

96

108

Show answer & explanation

Answer: 72

Answer

Verilen şartlara uyan 72 farklı birebir fonksiyon tanımlanabilir.

İşlem adımları sırasıyla şöyledir: 1.

f(a)+f(b)=7

şartını sağlayan 6 farklı sıralı ikili vardır. Bu ikililerin her birinde bir tek ve bir çift sayı kullanılır. 2.

f(c)

tek sayı olmalıdır. Toplam 3 tek sayıdan 1 tanesi

a

veya

b

tarafından kullanıldığı için geriye 2 seçenek kalır. 3. Geriye kalan

d

ve

e

elemanları için, kullanılmayan 3 eleman kalmıştır.

d

için 3,

e

için 2 seçenek vardır (

3 \times 2 = 6

). Sonuç:

6 \times 2 \times 6 = 72

.

Step-by-Step Solution

1

f(a) + f(b) = 7 şartını sağlayan ve birbirinden farklı (birebir olduğu için) ikilileri belirle.

B kümesindeki elemanlardan toplamı 7 olan ikililer: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3). Toplam 6 durum vardır.

Fonksiyon birebir olduğu için f(a) ≠ f(b) olmalıdır. Hem a hem b için değer seçilmelidir.

2

Bu seçimlerin tek/çift sayı durumunu ve f(c) için kalan seçenekleri analiz et.

Her ikilide (örneğin 1 ve 6) mutlaka 1 tek ve 1 çift sayı kullanılır. B kümesindeki tek sayılar {1, 3, 5} (3 adet), çift sayılar {2, 4, 6} (3 adet). a ve b için 1 tek sayı kesinlikle kullanıldığı için, f(c) için geriye 3 - 1 = 2 adet tek sayı kalır.

f(c)'nin tek sayı olması şartı, a ve b'nin kullandığı sayılara bağlıdır.

3

Kalan elemanlar (d ve e) için seçenek sayısını hesapla.

B kümesinde toplam 6 eleman var. f(a), f(b) ve f(c) için toplam 3 eleman kullanıldı. Geriye 6 - 3 = 3 eleman kalır. d için 3, e için 2 seçenek vardır (veya P(3,2) = 6).

Fonksiyon birebir olduğu için kullanılan değerler tekrar kullanılamaz.

4

Çarpma kuralını uygulayarak toplam fonksiyon sayısını bul.

6 (a ve b için) × 2 (c için) × 6 (d ve e için) = 72.

Olaylar bağımsız aşamalar olduğu için seçenek sayıları çarpılır.

Key Concept

Birebir Fonksiyon Sayısı ve Saymanın Temel İlkesi

Hints

1

Önce f(a) + f(b) = 7 eşitliğini sağlayan sayı çiftlerini listeleyin. Sıralamanın önemli olduğunu unutmayın (f(a)=1 ile f(a)=6 farklıdır).

2

f(a) ve f(b) çiftlerinin her birinde kaç tane tek sayı kullanıldığını kontrol edin. Bu, f(c) için kaç tek sayı kaldığını belirleyecektir.

3

Adım adım seçenek sayılarını çarpın: (a,b çifti sayısı) × (c için kalan tek sayılar) × (d,e için kalan tüm sayılar).

Practice More

Birebir olmayan fonksiyon sayısı sorulsaydı sonuç nasıl değişirdi?

Alternative Method

Tüm birebir fonksiyonlardan şartları sağlamayanları çıkarmak yerine, doğrudan şartları sağlayan durumları saymak (yukarıdaki yöntem) bu soru için çok daha pratiktir.

Estimated Time:2m 30s

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More