Examkin

Question

Difficulty: HardBinom Açılımı
(x3−2x2)n \left( x^3 - \frac{2}{x^2} \right)^n
ifadesinin açılımında sabit terim, x10x^{10} lu terimin katsayısının 44 katına eşittir.

Buna göre, nn doğal sayısı kaçtır?

  1. A
    5
  2. B
    8
  3. 10Answer
  4. D
    12
  5. E
    15

Answer

Verilen şartı sağlayan nn değeri 10'dur.
Genel terim formülü kullanılarak sabit terim ve x10x^{10} lu terim için kuvvet analizleri yapıldığında, rr değerleri arasında 2 fark olduğu görülür. Katsayılar oranlandığında (−2)r(-2)^r çarpanlarından gelen 4 kat farkı, kombinasyonların eşit olmasını gerektirir. (nr+2)=(nr)\binom{n}{r+2} = \binom{n}{r} eşitliği ancak alt indislerin toplamı nn olduğunda sağlanır. Bu ilişki ve kuvvet denklemleri çözüldüğünde doğru değer 10 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Genel terim formülünü yaz
(nr)(x3)n−r(−2x2)r=(nr)(−2)rx3n−3r−2r=(nr)(−2)rx3n−5r \binom{n}{r} (x^3)^{n-r} \left(-\frac{2}{x^2}\right)^r = \binom{n}{r} (-2)^r x^{3n-3r-2r} = \binom{n}{r} (-2)^r x^{3n-5r}
Herhangi bir terimin katsayısını ve derecesini belirlemek için genel formül gereklidir.
2
Sabit terim ve x10x^{10} lu terim için rr değerleri arasındaki ilişkiyi bul
Sabit terim için 3n−5r1=03n-5r_1=0, x10x^{10} için 3n−5r2=103n-5r_2=10. Taraf tarafa çıkarma yapılırsa 5(r1−r2)=10  ⟹  r1=r2+25(r_1-r_2)=10 \implies r_1 = r_2 + 2.
İki terimin kuvvetleri arasındaki farktan yola çıkarak rr değerleri arasındaki fark bulunur.
3
Verilen katsayı ilişkisini denkleme dök
(nr2+2)(−2)r2+2=4⋅(nr2)(−2)r2 \binom{n}{r_2+2}(-2)^{r_2+2} = 4 \cdot \binom{n}{r_2}(-2)^{r_2}
Soruda verilen '4 katıdır' bilgisini matematiksel eşitliğe dönüştürmek gerekir.
4
Denklemi sadeleştir ve nn değerini bul
(−2)r2+2=4⋅(−2)r2 (-2)^{r_2+2} = 4 \cdot (-2)^{r_2}
olduğundan katsayılar sadeleşir ve
(nr2+2)=(nr2) \binom{n}{r_2+2} = \binom{n}{r_2}
kalır. Buradan
r2+2+r2=n  ⟹  n=2r2+2 r_2 + 2 + r_2 = n \implies n = 2r_2 + 2
bulunur.
3n−5r2=10 3n - 5r_2 = 10
denkleminde yerine yazılırsa n=10n=10 bulunur.
Simetrik kombinasyon özelliği ((na)=(nb)  ⟹  a+b=n \binom{n}{a} = \binom{n}{b} \implies a+b=n ) kullanılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Binom açılımında katsayılar arasındaki ilişki ve simetri özelliği ((nr)=(nn−r) \binom{n}{r} = \binom{n}{n-r} ).

Hints

1
Binom açılımının genel terimi (nr)(x3)n−r(−2x2)r\binom{n}{r} (x^3)^{n-r} (-\frac{2}{x^2})^r şeklindedir.
2
Sabit terim için xx'in kuvveti 0, diğer terim için ise 10 olmalıdır. Bu iki durumdaki rr değerleri arasındaki farkı bulun.
3
rr değerleri arasındaki fark 2'dir. (nr+2)=(nr)\binom{n}{r+2} = \binom{n}{r} eşitliğini kullanarak nn ile rr arasındaki ilişkiyi kurun.

Practice More

Katsayılar toplamı ve sabit terim ilişkisini içeren sorular çözülebilir.

Alternative Method

Şıklardan giderek nn değerlerini yerine koyup, sabit terim ve x10x^{10} lu terimin katsayılarını hesaplayarak oranlarını kontrol edebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Binom Açılımı

More questions from this topic