Examkin

Question

Difficulty: HardKöklü İfadeler
12−85−24+143+23+1 \frac{\sqrt{12} - \sqrt{8}}{\sqrt{5 - \sqrt{24}}} + \frac{1}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
  1. 23+1\sqrt[3]{2} + 1Answer
  2. B
    23−1\sqrt[3]{2} - 1
  3. C
    23+2\sqrt[3]{2} + 2
  4. D
    23\sqrt[3]{2}
  5. E
    33

Answer

İşlemin sonucu küp kök 2 artı 1'dir.
Verilen soruda birinci terim sadeleştirildiğinde rasyonel bir sayı olan 2 elde edilir. İkinci terim ise küp farkı özdeşliği yardımıyla rasyonel hale getirildiğinde küp kök 2 eksi 1 sonucuna ulaşılır. Bu iki ifadenin toplamı olan küp kök 2 artı 1, ifadenin en sade halidir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci terimi sadeleştirmek için iç içe kök kuralını uygulayın.
5−24=5−26\sqrt{5 - \sqrt{24}} = \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} ifadesinde çarpımları 6, toplamları 5 olan sayılar 3 ve 2'dir. Dolayısıyla 5−26=3−2\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2} olur.
İç içe köklerde a±2b\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} formu, çarpanlara ayırma yöntemiyle sadeleştirilebilir.
2
Birinci terimin pay ve paydasını düzenleyerek bölme işlemini yapın.
12−83−2=23−223−2=2(3−2)3−2=2\frac{\sqrt{12} - \sqrt{8}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = 2
Pay kısmındaki ifadeler ortak paranteze alınarak payda ile sadeleştirilir.
3
İkinci terimin paydasını rasyonel yapmak için küp farkı özdeşliğini kullanın.
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) özdeşliğinde a=23a = \sqrt[3]{2} ve b=1b = 1 alınırsa, ifadeyi (23−1)(\sqrt[3]{2} - 1) ile genişletiriz: 23−1(23)3−13=23−12−1=23−1\frac{\sqrt[3]{2} - 1}{(\sqrt[3]{2})^3 - 1^3} = \frac{\sqrt[3]{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt[3]{2} - 1
Küp köklü ifadelerde payda rasyonel yapılırken uygun küp özdeşliği seçilmelidir.
4
İki terimin sonuçlarını toplayın.
2+(23−1)=23+12 + (\sqrt[3]{2} - 1) = \sqrt[3]{2} + 1
Sadeleştirilmiş rasyonel ve köklü ifadeler toplanarak en sade hale getirilir.

Key Concept

İç içe köklerin sadeleştirilmesi ve küp köklü ifadelerde paydanın rasyonel yapılması.

Alternative Method

İkinci terimde paydanın rasyonelleştirilmesi yerine, ifadenin genel yapısı incelendiğinde terimlerin yaklaşık değerleri üzerinden seçenek eleme yöntemi de kullanılabilir, ancak bu yöntem kesin sonuç için güvenli değildir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Köklü İfadeler

More questions from this topic