E örnek uzayında tanımlı A ve B olayları için P(A) = \frac{2}{3} ve P(B) = \frac{1}{4} ola… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

$E$ örnek uzayında tanımlı $A$ ve $B$ olayları için $P(A) = \frac{2}{3}$ ve $P(B) = \frac{1}{4}$ olasılık değerleri verilmiştir.

Buna göre, $A \cup B$ olayının gerçekleşme olasılığının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

A \cup B olayının olasılığı [\frac{2}{3}, \frac{11}{12}] aralığındadır.

İki olayın birleşiminin olasılığı, kesişimlerinin büyüklüğüne bağlı olarak değişir.

P(A \cup B)

ifadesinin en büyük olması için olayların mümkün olduğunca ayrık olması gerekir (

P(A \cap B)=0

). Bu durumda toplam

\frac{11}{12}

olur. En küçük olması için ise olayların mümkün olduğunca iç içe geçmesi gerekir (B, A'nın alt kümesi). Bu durumda birleşim büyük kümeye (

P(A)=\frac{2}{3}

) eşit olur. Dolayısıyla aralık

[\frac{2}{3}, \frac{11}{12}]

'dir.

Birleşim formülünü ve değişkenleri tanımla.

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{3} + \frac{1}{4} - P(A \cap B) = \frac{11}{12} - P(A \cap B)

Birleşim olasılığını bulmak için genel olasılık toplama kuralı kullanılır.

Kesişim olasılığının (

P(A \cap B)

) alabileceği minimum ve maksimum değerleri belirle.

Minimum

P(A \cap B) = 0

(Ayrık olaylar), Maksimum

P(A \cap B) = \frac{1}{4}

(B kümesi A'nın alt kümesi).

P(A)+P(B) = 11/12 < 1

olduğundan olaylar ayrık olabilir (kesişim 0). Kesişim en fazla küçük küme kadar olabilir (

P(B)

Bulunan sınırları birleşim formülünde yerine koyarak aralığı hesapla.

Maksimum B için (kesişim 0 iken):

11/12 - 0 = 11/12

. Minimum B için (kesişim

1/4

iken):

11/12 - 3/12 = 8/12 = 2/3

Birleşim olasılığı, kesişim en az olduğunda en büyük; kesişim en çok olduğunda en küçük değerini alır.

Olasılık Fonksiyonunun Sınırları ve Kümeler Teorisi İlişkisi

Birleşim formülünü hatırlayın:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Birleşimin en büyük olması için kesişimin en küçük (0); birleşimin en küçük olması için kesişimin en büyük olması gerekir.

P(A) + P(B) = 11/12

değeri 1'den küçüktür, yani bu olaylar tamamen ayrık olabilir. Ayrıca

P(B) < P(A)

olduğu için B kümesi tamamen A'nın içinde olabilir.

Estimated Time:2m 0s

Question