Examkin

Question

Difficulty: Very hardBinom Açılımı
(2x3−1x2)n \left( 2x^3 - \frac{1}{x^2} \right)^n

ifadesinin açılımında ortanca terimin derecesi 33 olduğuna göre, bu açılımın sondan üçüncü teriminin katsayısı kaçtır?

  1. A
    15
  2. 60Answer
  3. C
    -160
  4. D
    240
  5. E
    -240

Answer

Doğru cevap 60'tır.
Ortanca terim derecesi kullanılarak kuvvetin n=6n=6 olduğu bulunur. Bu açılımda sondan üçüncü terim, baştan beşinci terime (r=4r=4) karşılık gelir. Formülde yerine konulduğunda katsayı 60 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Genel terim formülünü yaz ve ortanca terim şartını belirle.
Genel terim: C(n,r)(2x3)n−r(−x−2)rC(n,r) (2x^3)^{n-r} (-x^{-2})^r. Ortanca terim olması için nn çift sayı olmalı ve r=n/2r = n/2 alınmalıdır.
Binom açılımında ortanca terim, kuvvetin yarısı kadar adım gidildiğinde bulunur.
2
Verilen derece bilgisini kullanarak nn değerini bul.
xx'in kuvveti: 3(n−r)−2r=3n−5r3(n-r) - 2r = 3n - 5r. r=n/2r=n/2 için: 3n−5(n/2)=3⇒0,5n=3⇒n=63n - 5(n/2) = 3 \Rightarrow 0,5n = 3 \Rightarrow n=6.
Soruda ortanca terimin derecesinin (üs değerinin) 3 olduğu verilmiştir.
3
Sondan üçüncü terimin hangi rr değerine karşılık geldiğini bul.
Açılımda toplam n+1=7n+1 = 7 terim vardır. Sondan 1. (r=6r=6), sondan 2. (r=5r=5), sondan 3. terim için r=4r=4 olur.
Terimler r=0r=0'dan başlar. Sondan k. terim için r=n−(k−1)r = n - (k-1) formülü veya sayma yöntemi kullanılır.
4
Bulunan değerleri yerine koyarak katsayıyı hesapla.
Katsayı: C(6,4)⋅(2)6−4⋅(−1)4=15⋅22⋅1=15⋅4=60C(6,4) \cdot (2)^{6-4} \cdot (-1)^4 = 15 \cdot 2^2 \cdot 1 = 15 \cdot 4 = 60.
C(6,4)=15C(6,4) = 15 ve (−1)(-1)'in çift kuvveti pozitiftir.

Key Concept

Binom açılımında genel terim C(n,r)xn−ryrC(n,r) x^{n-r} y^r formülüyle bulunur. Sondan k. terim istendiğinde rr değeri baştan saymaya göre ayarlanmalıdır.

Hints

1
Önce nn değerini bulmak için genel terim formülünü (C(n,r)an−rbrC(n,r) a^{n-r} b^r) yazın ve ortanca terim için r=n/2r=n/2 olduğunu hatırlayın.
2
Ortanca terimin derecesi 3 olduğuna göre, xx'in kuvvetlerini eşitleyerek n=6n=6 olduğunu bulabilirsiniz.
3
n=6n=6 ise toplam 7 terim vardır. Sondan üçüncü terim, r=4r=4 alınarak hesaplanır.

Practice More

Aynı ifade için sabit terimi (x'ten bağımsız terim) bulunuz.

Alternative Method

Sondan k. terim formülü: (x+y)n(x+y)^n açılımında sondan k. terim, (y+x)n(y+x)^n açılımında baştan k. terime eşittir. İfadeyi (−1x2+2x3)6(-\frac{1}{x^2} + 2x^3)^6 olarak yazıp baştan 3. terimi (r=2r=2) hesaplayabilirsiniz.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Binom Açılımı

More questions from this topic