Examkin

Question

Difficulty: Very hardKöklü İfadeler
x=20+1423+20−1423 x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}

olduğuna göre, xx reel sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    2
  2. 4Answer
  3. C
    2√2
  4. D
    6
  5. E
    8

Answer

İfadenin değeri 4'tür.
Verilen ifadede kök içindeki sayılar, (a+b)3(a+b)^3 ve (a−b)3(a-b)^3 formundadır. 20+14220+14\sqrt{2} sayısı (2+2)(2+\sqrt{2})'nin kübü, 20−14220-14\sqrt{2} sayısı ise (2−2)(2-\sqrt{2})'nin kübüdür. Bu sayılar küp kök dışına çıkarıldığında 2\sqrt{2}'ler birbirini götürür ve sonuç tamsayı olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kök içindeki ifadelerin tam küp olup olmadığını kontrol et.
(2+2)3=23+3⋅22⋅2+3⋅2⋅(2)2+(2)3 (2 + \sqrt{2})^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^3 hesaplanır.
Köklü ifadelerde, özellikle küp kök içindeki A+BCA + B\sqrt{C} formundaki sayılar genellikle (m+nC)3(m + n\sqrt{C})^3 biçimindedir.
2
Açılımı tamamla ve kök içi ile eşleştir.
8+122+12+22=20+142 8 + 12\sqrt{2} + 12 + 2\sqrt{2} = 20 + 14\sqrt{2} olduğu görülür. Benzer şekilde (2−2)3=20−142 (2 - \sqrt{2})^3 = 20 - 14\sqrt{2} 'dir.
Bu özdeşlik, köklü ifadelerin kök dışına tam olarak çıkmasını sağlar.
3
Bulunan değerleri yerine yaz ve toplama işlemini yap.
x=(2+2)33+(2−2)33=(2+2)+(2−2) x = \sqrt[3]{(2 + \sqrt{2})^3} + \sqrt[3]{(2 - \sqrt{2})^3} = (2 + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2})
a33=a \sqrt[3]{a^3} = a kuralı uygulanır.
4
Sonucu hesapla.
2+2+2−2=4 2 + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} = 4
Köklü terimler birbirini götürür ve geriye sadece tamsayılar kalır.

Key Concept

Tam Küp Açılımı ve Köklü İfadeler

Hints

1
Küp kök içindeki ifadeyi (a+b)3 (a + \sqrt{b})^3 şeklinde yazıp yazamayacağınızı kontrol edin.
2
(2+2)3 (2 + \sqrt{2})^3 ifadesinin açılımını yaparak kök içindeki ifadeyle karşılaştırın.
3
20+142=(2+2)3 20 + 14\sqrt{2} = (2+\sqrt{2})^3 eşitliğini kullanarak kökleri sadeleştirin.

Practice More

İç içe köklerde a±2b\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} kuralını içeren soruları çözerek pratik yapın.

Alternative Method

Değişken değiştirme yöntemi: x=20+1423+20−1423x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} olsun. Her iki tarafın kübü alınırsa x3=(20+142)+(20−142)+3⋅((20+142)(20−142)3)⋅xx^3 = (20+14\sqrt{2}) + (20-14\sqrt{2}) + 3\cdot(\sqrt[3]{(20+14\sqrt{2})(20-14\sqrt{2})})\cdot x elde edilir. Bu denklem düzenlenerek x3=40+6xx^3 = 40 + 6x bulunur ve x=4x=4 kökü tespit edilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Köklü İfadeler

More questions from this topic