Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel (Sayma)
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(n+2)!(n−1)!=10⋅n!(n−2)! \frac{(n+2)!}{(n-1)!} = 10 \cdot \frac{n!}{(n-2)!}

eşitliğinde nn'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    3
  2. B
    4
  3. C
    5
  4. 7Answer
  5. E
    12

Answer

Eşitliği sağlayan değerler 3 ve 4 olup, toplamları 7'dir.
Verilen eşitlikte faktöriyeller açılıp sadeleştirildiğinde (n+2)(n+1)n=10n(n−1)(n+2)(n+1)n = 10n(n-1) denklemi elde edilir. n≠0n \neq 0 olduğu için sadeleştirme yapılarak n2+3n+2=10n−10n^2+3n+2 = 10n-10 denklemi bulunur. Bu denklem düzenlendiğinde n2−7n+12=0n^2-7n+12=0 olur ve kökleri 3 ile 4'tür. Toplamları 7 yapar.

Step-by-Step Solution

1
Faktöriyelli ifadeleri, sadeleşecek şekilde açarak yazalım.
(n+2)(n+1)n(n−1)!(n−1)!=10⋅n(n−1)(n−2)!(n−2)!\frac{(n+2)(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!} = 10 \cdot \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}
Faktöriyel tanımını kullanarak pay ve paydadaki ortak çarpanları yok etmek için.
2
Sadeleştirme işlemlerini yapalım.
(n+2)(n+1)n=10⋅n(n−1)(n+2)(n+1)n = 10 \cdot n(n-1)
Denklemi faktöriyellerden kurtarıp cebirsel hale getirmek için.
3
nn bir doğal sayı olduğu için (ve tanım gereği n≥2n \ge 2 olmalı) eşitliğin her iki tarafını nn ile bölelim.
(n+2)(n+1)=10(n−1)(n+2)(n+1) = 10(n-1)
Denklemin derecesini düşürmek için.
4
Parantezleri açıp ifadeyi ikinci dereceden denklem formuna getirelim.
n2+3n+2=10n−10n^2 + 3n + 2 = 10n - 10
⇒n2−7n+12=0\Rightarrow n^2 - 7n + 12 = 0
Kökleri bulabilmek için standart form (ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0) elde etmek.
5
Elde edilen denklemi çarpanlarına ayırarak nn değerlerini bulalım.
(n−4)(n−3)=0⇒n=4 veya n=3(n-4)(n-3) = 0 \Rightarrow n=4 \text{ veya } n=3
Çözüm kümesini belirlemek.
6
Bulunan değerlerin toplamını hesaplayalım.
3+4=73 + 4 = 7
Sorunun istediği sonucu elde etmek.

Key Concept

Faktöriyel Sadeleştirme ve İkinci Dereceden Denklemler

Hints

1
Büyük faktöriyelleri küçük faktöriyellere benzeterek açmayı deneyin. Örneğin: (n+2)!=(n+2)(n+1)n!(n+2)! = (n+2)(n+1)n!
2
Eşitliğin her iki tarafındaki n!n! ve (n−2)!(n-2)! gibi terimleri sadeleştirdikten sonra geriye sadece nn'ye bağlı cebirsel bir ifade kalacaktır.
3
Sadeleştirme sonucu (n+2)(n+1)=10(n−1)(n+2)(n+1) = 10(n-1) denklemini elde etmelisiniz. Bunu ikinci dereceden denkleme dönüştürüp çözün.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış, kökler çarpımının sorulduğu sorular çözülebilir.

Alternative Method

Denklem n2−7n+12=0n^2-7n+12=0 haline geldikten sonra, kökleri tek tek bulmak yerine İkinci Dereceden Denklemlerde Kökler Toplamı formülünü (x1+x2=−b/ax_1+x_2 = -b/a) kullanarak doğrudan −(−7)/1=7-(-7)/1 = 7 sonucuna ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Sayma)

More questions from this topic