Examkin

Question

Difficulty: MediumKöklü İfadeler
10+152+3+2+6 \frac{\sqrt{10} + \sqrt{15}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6}}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    10+5\sqrt{10} + \sqrt{5}
  2. 10−5\sqrt{10} - \sqrt{5}Answer
  3. C
    55
  4. D
    5\sqrt{5}
  5. E
    2−1\sqrt{2} - 1

Answer

Verilen işlemin sonucu 10−5\sqrt{10} - \sqrt{5} olarak bulunur.
Verilen ifade pay ve payda kısımlarında ortak çarpanlara ayrıldığında (2+3)(\sqrt{2} + \sqrt{3}) terimleri sadeleşir. Elde edilen 52+1\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}+1} ifadesi, paydanın eşleniği olan (2−1)(\sqrt{2} - 1) ile genişletildiğinde sonuç 10−5\sqrt{10} - \sqrt{5} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki ifadeyi ortak çarpan parantezine alın.
10+15=5(2+3)\sqrt{10} + \sqrt{15} = \sqrt{5}(\sqrt{2} + \sqrt{3})
Her iki terimde de ortak olan 5\sqrt{5} çarpanı belirlenerek ifade sadeleştirilmeye hazır hale getirilir.
2
Payda kısmındaki ifadeyi gruplandırarak ortak çarpan parantezine alın.
2+3+2+6=(2+3)+(2⋅2+2⋅3)=(2+3)+2(2+3)=(1+2)(2+3)\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} = (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) = (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{2}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = (1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3})
2=222 = \sqrt{2}^2 ve 6=23\sqrt{6} = \sqrt{2}\sqrt{3} dönüşümleri yapılarak paydadaki terimler ortak paranteze alınır.
3
Pay ve paydadaki ortak (2+3)(\sqrt{2} + \sqrt{3}) terimlerini sadeleştirin.
5(2+3)(1+2)(2+3)=51+2\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{2}}
Çarpım durumunda olan aynı ifadeler sadeleşerek ifadenin daha basit bir hal almasını sağlar.
4
Paydayı rasyonel yapmak için ifadeyi paydanın eşleniği olan (2−1)(\sqrt{2} - 1) ile çarpın.
5(2−1)(1+2)(2−1)=10−52−1=10−5\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} - 1)}{(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{2 - 1} = \sqrt{10} - \sqrt{5}
Paydada köklü ifade bırakmamak için eşlenik çarpımı yapılarak payda rasyonel bir sayıya (1) dönüştürülür.

Key Concept

Köklü sayılarda gruplandırma yaparak çarpanlara ayırma ve paydayı eşlenik yardımıyla rasyonel hale getirme.

Hints

1
Pay ve paydadaki terimleri daha küçük köklü çarpanlara ayırmayı deneyin.
2
Paydada bulunan 2+62 + \sqrt{6} kısmını 2(2+3)\sqrt{2}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) şeklinde yazarak ortak çarpan oluşturabilirsiniz.
3
Gerekli sadeleştirmeleri yaptıktan sonra paydada kalan köklü ifadeyi rasyonel yapmak için eşleniği ile genişletin.

Practice More

Gruplandırma yöntemi ve eşlenik çarpımını bir arada kullanan karmaşık köklü sayı soruları ile pratiğinizi artırabilirsiniz.
Estimated Time:1m 40s
Rate this question

Topics

Köklü İfadeler

More questions from this topic