Examkin

Question

Difficulty: HardBinom Açılımı
(2x2−1x)n \left( 2x^2 - \frac{1}{x} \right)^n
ifadesinin açılımında, baştan 3. terimin katsayısı ile baştan 4. terimin katsayısının toplamı sıfırdır. Buna göre, bu açılımda x4x^4 lü terimin katsayısı kaçtır?
  1. A
    560
  2. B
    896
  3. 1120Answer
  4. D
    1680
  5. E
    1792

Answer

1120
Verilen katsayı ilişkisinden n=8n=8 olarak bulunur. Ardından x4x^4 terimini sağlayan r=4r=4 değeri tespit edilir. Genel terim formülünde yerine konulduğunda katsayı 1120 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Genel terim formülünü yaz ve verilen terimlerin katsayılarını ifade et.
(nr)(2x2)n−r(−x−1)r \binom{n}{r} (2x^2)^{n-r} (-x^{-1})^r
formülünden, 3. terim (r=2r=2) için katsayı
(n2)2n−2 \binom{n}{2} 2^{n-2}
, 4. terim (r=3r=3) için katsayı
−(n3)2n−3 -\binom{n}{3} 2^{n-3}
bulunur.
Binom açılımında baştan (r+1)(r+1). terim formülü kullanılır.
2
Katsayılar toplamının sıfır olduğu bilgisini kullanarak eşitliği kur ve nn değerini bul.
(n2)2n−2−(n3)2n−3=0⇒(n2)2n−2=(n3)2n−3 \binom{n}{2} 2^{n-2} - \binom{n}{3} 2^{n-3} = 0 \Rightarrow \binom{n}{2} 2^{n-2} = \binom{n}{3} 2^{n-3}
. Sadeleştirme sonucu n=8n=8 bulunur.
Verilen koşuldan nn kuvvetini belirlemek gereklidir.
3
x4x^4 lü terimi elde etmek için gereken rr değerini hesapla.
(x2)8−r(x−1)r=x16−2r−r=x16−3r (x^2)^{8-r} (x^{-1})^r = x^{16-2r-r} = x^{16-3r}
.
16−3r=4⇒3r=12⇒r=4 16-3r=4 \Rightarrow 3r=12 \Rightarrow r=4
olarak bulunur.
İstenen terimin kuvvetine ulaşmak için rr değeri belirlenmelidir.
4
Bulunan nn ve rr değerlerini yerine koyarak katsayıyı hesapla.
(84)(2)8−4(−1)4=70⋅16⋅1=1120 \binom{8}{4} (2)^{8-4} (-1)^4 = 70 \cdot 16 \cdot 1 = 1120
Sonuç katsayısını bulmak için tüm çarpanlar birleştirilir.

Key Concept

Binom açılımında katsayılar arasındaki ilişki kullanılarak bilinmeyen kuvvetin (nn) bulunması ve genel terim formülü ile istenen terimin katsayısının hesaplanması.

Hints

1
Önce genel terim formülünü yazarak baştan 3. (r=2r=2) ve 4. (r=3r=3) terimlerin katsayılarını nn cinsinden ifade edin.
2
Katsayılar toplamı sıfır olduğuna göre, bu iki katsayı mutlak değerce eşit ve zıt işaretlidir. Bu eşitliği kullanarak nn değerini bulun.

Practice More

Benzer bir soruda, katsayılar toplamı yerine belirli bir terimin katsayısının verildiği durumu inceleyin.

Alternative Method

Pascal üçgeni özelliklerini kullanarak, ardışık terim katsayıları arasındaki orandan nn değerini daha hızlı tahmin edebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Binom Açılımı

More questions from this topic