Examkin

Question

Difficulty: Very hardKöklü İfadeler
(0,04)−x⋅5x3=3125 \sqrt[3]{ (0,04)^{-x} \cdot \sqrt{ 5^{x} } } = 3125

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

  1. A
    3
  2. B
    5
  3. 6Answer
  4. D
    8
  5. E
    10

Answer

Denklemi sağlayan x değeri 6'dır.
Verilen denklemde tüm ifadeler 5 tabanında yazılarak çözüme gidilir. Ondalık sayı 5−25^{-2}'ye dönüştürülür, köklü ifadeler rasyonel üs olarak yazılır (x/2x/2 ve 1/31/3 kuvvetleri). Üslerin toplanması ve çarpılması kuralları uygulandığında sol taraf 55x/65^{5x/6} bulunur. Sağ taraf 555^5 olduğundan, üsler eşitlenerek x=6x=6 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Ondalık sayıyı üslü ifadeye çevir
0,04=4100=125=5−20,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2} olarak yazılır.
Tüm tabanları asal çarpanlarına (5 tabanına) ayırarak işlem kolaylığı sağlamak için.
2
Negatif üssü ve parantez kuvvetini düzenle
(0,04)−x=(5−2)−x=52x(0,04)^{-x} = (5^{-2})^{-x} = 5^{2x} olur.
Üssün üssü kuralı ((am)n=am⋅n (a^m)^n = a^{m \cdot n} ) gereği.
3
En içteki köklü ifadeyi üslü sayıya çevir
5x=5x/2\sqrt{5^x} = 5^{x/2} olarak yazılır.
Köklü sayıları üslü sayı biçiminde yazmak işlemleri birleştirmeyi sağlar.
4
Kök içindeki çarpma işlemini yap
52x⋅5x/2=52x+x2=55x25^{2x} \cdot 5^{x/2} = 5^{2x + \frac{x}{2}} = 5^{\frac{5x}{2}} elde edilir.
Tabanları aynı olan üslü sayıların çarpımında üsler toplanır.
5
Dış kökü (küp kök) üslü ifadeye yansıt
55x/23=(55x/2)1/3=55x6\sqrt[3]{5^{5x/2}} = (5^{5x/2})^{1/3} = 5^{\frac{5x}{6}} olur.
Kök derecesi, üslü ifadenin paydasına gelir.
6
Denklemin sağ tarafını düzenle ve eşitle
3125=553125 = 5^5 olduğu için, 55x6=555^{\frac{5x}{6}} = 5^5 denklemi kurulur.
Eşitliğin her iki tarafındaki tabanlar aynı olduğunda üsler de eşit olmalıdır.
7
Üsleri eşitleyerek x'i çöz
5x6=5⇒5x=30⇒x=6\frac{5x}{6} = 5 \Rightarrow 5x = 30 \Rightarrow x = 6.
Birinci dereceden denklem çözümü.

Key Concept

Köklü ifadelerin üslü sayıya dönüştürülmesi ve üslü denklemlerin çözümü.

Hints

1
Denklemdeki tüm sayıları (0,04 ve 3125 dahil) 5 sayısının kuvvetleri şeklinde yazmayı deneyin.
2
amn=am/n\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} kuralını kullanarak köklü ifadeleri üslü sayıya çevirin. 0,04=5−20,04 = 5^{-2} olduğunu unutmayın.
3
İfadeyi 55x/6=555^{5x/6} = 5^5 formuna getirdikten sonra üsleri birbirine eşitleyerek x'i bulabilirsiniz.

Practice More

İç içe köklerde sonsuza giden ifadelerle ilgili (xx... \sqrt{x \sqrt{x...}} ) sorular çözülebilir.

Alternative Method

Her iki tarafın küpünü alarak en dıştaki kökten kurtulun: (0,04)−x⋅5x=31253(0,04)^{-x} \cdot \sqrt{5^x} = 3125^3. Ardından karekökten kurtulmak için tekrar kare alın ve üsleri eşitleyin.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Köklü İfadeler

More questions from this topic