Examkin

Question

Difficulty: MediumKöklü İfadeler
2−32+3+3 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}} + \sqrt{3}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    1
  2. 2Answer
  3. C
    3
  4. D
    3\sqrt{3}
  5. E
    232\sqrt{3}

Answer

İşlemin sonucu 2'dir.
Verilen ifade eşleniği ile genişletildiğinde, payda kısmında iki kare farkından dolayı 4−3=1\sqrt{4-3}=1 elde edilir. Pay kısmında ise köklü ifadenin karesi alınarak 2−32-\sqrt{3} sonucuna ulaşılır. İfadenin sonundaki +3+\sqrt{3} ile paydan gelen −3-\sqrt{3} toplandığında sonuç tam sayı olan 2 olur.

Step-by-Step Solution

1
Kesrin paydasını rasyonel yapmak için ifadeyi paydanın eşleniği olan 2−3\sqrt{2 - \sqrt{3}} ile genişletin.
2−3⋅2−32+3⋅2−3+3 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}} + \sqrt{3}
Paydada köklü ifade bırakmamak ve işlemi sadeleştirmek için eşlenik ile çarpma yöntemi kullanılır.
2
Pay ve paydadaki çarpma işlemlerini gerçekleştirin.
Pay: (2−3)2=2−3(\sqrt{2 - \sqrt{3}})^2 = 2 - \sqrt{3}
Payda: (2+3)(2−3)=22−(3)2=4−3=1=1\sqrt{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1
Bir köklü ifadenin kendisiyle çarpımı kökü kaldırır; paydada ise iki kare farkı özdeşliği uygulanır.
3
Elde edilen değerleri ana ifadede yerine yazarak sadeleştirin.
2−31+3=2−3+3=2 \frac{2 - \sqrt{3}}{1} + \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2
Payda 1 olduğu için kesir kalkar ve zıt işaretli köklü terimler birbirini sıfırlar.

Key Concept

Köklü ifadelerde paydanın rasyonel yapılması (eşlenik çarpımı) ve iç içe köklerin sadeleştirilmesi.

Hints

1
Kesirli bir ifadede paydada kök varsa, paydayı kökten kurtarmak için eşleniğiyle çarpmayı deneyin.
2
Paydayı 2−3\sqrt{2 - \sqrt{3}} ile çarptığınızda payda kısmında (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 özdeşliğini kullanabilirsiniz.
3
Payda rasyonel hale geldiğinde 1 olacaktır. Pay kısmındaki ifade ile dışarıdaki köklü ifadeyi toplayarak sadeleştirme yapın.

Practice More

İç içe köklerde a±2b\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} formülünün kullanıldığı benzer rasyonelleştirme sorularını çözebilirsiniz.

Alternative Method

İfadeyi bütün olarak KK değerine eşitleyip karesini alarak da çözüme gidilebilir, ancak rasyonelleştirme (eşlenik) yöntemi bu tip sorular için en pratik ve standart yoldur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Köklü İfadeler

More questions from this topic