Examkin

Question

Difficulty: MediumKombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Bir düzlem üzerinde bulunan bir çemberin üzerinde 55 farklı nokta, bu çemberi kesmeyen bir dd doğrusunun üzerinde ise 44 farklı nokta işaretlenmiştir. Bu 99 noktadan herhangi üçü (doğru üzerindeki noktalar hariç) doğrusal değildir. Buna göre, köşeleri bu 99 noktadan seçilen en fazla kaç farklı üçgen çizilebilir?

  1. A
    8484
  2. 8080Answer
  3. C
    7474
  4. D
    7070
  5. E
    5454

Answer

Seksen farklı üçgen çizilebilir.
Üçgen oluşturabilmek için seçilen 33 noktanın doğrusal olmaması gerekir. Düzlemdeki 99 noktadan seçilebilecek tüm 33’lü grupların sayısı C(9,3)=84C(9,3) = 84’tür. Ancak dd doğrusu üzerindeki 44 nokta doğrusal olduğu için bu noktalar kendi aralarında üçgen oluşturamazlar. Bu 44 noktadan seçilen 33’lü grup sayısı C(4,3)=4C(4,3) = 4’tür. Dolayısıyla, çizilebilecek toplam üçgen sayısı 84−4=8084 - 4 = 80 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Toplam nokta sayısını ve tüm olası üçlü seçimleri belirleyin.
55 (çember) + 44 (doğru) = 99 nokta. Tüm üçlü seçimler: C(9,3)=9×8×73×2×1=84C(9,3) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84.
Üçgen oluşturmak için 33 noktaya ihtiyaç vardır; herhangi bir kısıtlama olmasaydı toplam seçim sayısı bu olacaktı.
2
Doğrusal oldukları için üçgen oluşturamayacak olan nokta gruplarını belirleyin.
Doğru üzerindeki 44 noktadan seçilen 33 nokta üçgen oluşturmaz: C(4,3)=4C(4,3) = 4.
Aynı doğru üzerindeki noktalar birleştirildiğinde bir kapalı şekil (üçgen) değil, bir doğru parçası oluştururlar.
3
Tüm durumlardan geçersiz durumları çıkararak sonucu bulun.
84−4=8084 - 4 = 80.
Çember üzerindeki noktaların herhangi üçü doğrusal olmadığı için onlar her zaman üçgen oluşturur, sadece doğru üzerindeki kısıtlamayı çıkarmak yeterlidir.

Key Concept

Kombinasyon yöntemiyle üçgen sayma: Toplam durumdan doğrusal olanların (üçgen oluşturmayanların) çıkarılması mantığına dayanır.

Hints

1
Üçgen oluşturmak için doğrusal olmayan 33 nokta seçmeniz gerektiğini hatırlayın.
2
Önce tüm noktalar serbestmiş gibi kaç farklı 33’lü seçilebileceğini hesaplayın, sonra kuralı bozanları çıkarın.
3
Doğru üzerindeki 44 noktadan seçilen herhangi 33 noktanın bir üçgen belirtmediğini (C(4,3)C(4,3)) unutmayın.

Practice More

Nokta sayılarını değiştirerek veya doğrunun çemberi kesmesi durumunda ne gibi değişiklikler olacağını düşünerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternative Method

Vaka analizi yöntemiyle de çözülebilir: 1) 33 nokta çemberden: C(5,3)=10C(5,3) = 10. 2) 22 nokta çemberden, 11 nokta doğrudan: C(5,2)×C(4,1)=10×4=40C(5,2) \times C(4,1) = 10 \times 4 = 40. 3) 11 nokta çemberden, 22 nokta doğrudan: C(5,1)×C(4,2)=5×6=30C(5,1) \times C(4,2) = 5 \times 6 = 30. Toplam: 10+40+30=8010 + 40 + 30 = 80.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Kombinasyonun Geometrik Uygulamaları

More questions from this topic