Examkin

Question

Difficulty: Hardİşlem
Reel sayılar kümesinde, her aa ve bb gerçel sayısı için
aΔb=2a+2b−ab−2a \Delta b = 2a + 2b - ab - 2

işlemi tanımlanıyor.

Bu işleme göre, tersi kendisine eşit olan ve etkisiz (birim) elemandan farklı olan sayının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 3Answer
  4. D
    4
  5. E
    5

Answer

İşlemin etkisiz elemanı 1 olarak bulunur; tersi kendisine eşit olan sayılar için kurulan denklemden 1 ve 3 kökleri elde edilir, şartı sağlayan değer 3'tür.
Öncelikle işlemin birim elemanı (ee) bulunur: aΔe=aa \Delta e = a denkleminden e=1e=1 elde edilir. Tersi kendisine eşit olan bir sayı (xx) için xΔx=ex \Delta x = e şartı sağlanmalıdır. Bu denklem x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0 sonucunu verir ve kökleri x=1x=1 ve x=3x=3 olur. Soruda birim elemandan (1'den) farklı olan değer istendiği için doğru cevap 3'tür.

Step-by-Step Solution

1
Etkisiz (birim) elemanı (ee) bulmak için aΔe=aa \Delta e = a eşitliğini kur.
2a+2e−ae−2=a2a + 2e - ae - 2 = a
Birim elemanın tanımı gereği, işleme giren sayıyı değiştirmemesi gerekir.
2
Eşitliği ee parantezine alarak çöz.
e(2−a)=a−2a+2⇒e(2−a)=2−a⇒e=1e(2 - a) = a - 2a + 2 \Rightarrow e(2 - a) = 2 - a \Rightarrow e = 1
Her aa değeri için eşitliğin sağlanması ancak e=1e=1 olmasıyla mümkündür.
3
Bir xx sayısının tersi kendisine eşitse (x−1=xx^{-1} = x), xΔx=ex \Delta x = e eşitliğini kur ve e=1e=1 değerini yerine yaz.
2x+2x−x2−2=12x + 2x - x^2 - 2 = 1
Bir sayının tersi ile işleme girmesi sonucu daima birim elemanı verir.
4
Oluşan ikinci dereceden denklemi düzenle ve köklerini bul.
−x2+4x−2=1⇒x2−4x+3=0⇒(x−3)(x−1)=0-x^2 + 4x - 2 = 1 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x-1) = 0
Denklemin kökleri x=3x=3 ve x=1x=1 olarak bulunur.
5
Sorudaki 'birim elemandan farklı' şartına uygun kökü seç.
Kökler 1 ve 3'tür. e=1e=1 olduğundan, birim elemandan farklı olan değer 3'tür.
Bulunan 1 değeri birim elemanın kendisi olduğu için elenir.

Key Concept

İşlem Özellikleri (Birim Eleman ve Ters Eleman)

Hints

1
Önce işlemin etkisiz (birim) elemanını (ee) bulmalısın. Etkisiz eleman aΔe=aa \Delta e = a eşitliğini sağlar.
2
Bulduğun ee değerini kullanarak, tersi kendisine eşit olan sayılar için xΔx=ex \Delta x = e denklemini kurmalısın.
3
xΔx=ex \Delta x = e denklemi sana ikinci dereceden bir ifade verecektir (x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0). Bu denklemin köklerinden biri birim elemanın kendisidir, diğerini seçmelisin.

Practice More

Benzer bir işlemde tersi olmayan elemanı (yutan eleman) bulmayı deneyin.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

İşlem

More questions from this topic