Examkin

Question

Difficulty: HardBinom Açılımı
(ax−2x2)5\left(ax - \frac{2}{x^2}\right)^5 ifadesinin açılımında x−4x^{-4}'lü terimin katsayısı −320-320 olduğuna göre, aa pozitif gerçel sayısı kaçtır?
  1. A
    1
  2. 2Answer
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    8

Answer

İstenen şartı sağlayan aa değeri 2'dir.
Genel terim formülü kullanılarak x−4x^{-4}'lü terime karşılık gelen rr değeri 3 olarak bulunur. Bu değer katsayı formülünde yerine konulduğunda −80a2=−320-80a^2 = -320 denklemi elde edilir ve buradan a=2a=2 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadenin binom açılımındaki genel terim formülünü yaz.
Genel Terim: (5r)(ax)5−r⋅(−2x2)r\binom{5}{r} (ax)^{5-r} \cdot \left(-\frac{2}{x^2}\right)^r
(x+y)n=∑r=0n(nr)xn−ryr(x+y)^n = \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} x^{n-r} y^r formülü kullanılır.
2
Değişkenlerin kuvvetlerini düzenleyerek xx'in üssünü tek bir ifade haline getir.
(5r)⋅a5−r⋅x5−r⋅(−2)r⋅x−2r=(5r)⋅a5−r⋅(−2)r⋅x5−3r\binom{5}{r} \cdot a^{5-r} \cdot x^{5-r} \cdot (-2)^r \cdot x^{-2r} = \binom{5}{r} \cdot a^{5-r} \cdot (-2)^r \cdot x^{5-3r}
Katsayıları ve değişkenleri ayrıştırarak xx'in hangi kuvvetinin oluşacağını belirlemek için gereklidir.
3
x−4x^{-4}'lü terimi elde etmek için rr değerini bul.
5−3r=−4⇒3r=9⇒r=35 - 3r = -4 \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r = 3
Soruda istenen terimin kuvveti −4-4 olduğu için genel terimdeki xx'in üssü buna eşitlenir.
4
Bulunan r=3r=3 değerini katsayı kısmında yerine yaz ve verilen −320-320 değerine eşitle.
Katsayı: (53)⋅a5−3⋅(−2)3=10⋅a2⋅(−8)=−80a2\binom{5}{3} \cdot a^{5-3} \cdot (-2)^3 = 10 \cdot a^2 \cdot (-8) = -80a^2
Bilinmeyen aa sayısını bulmak için katsayı hesaplanır.
5
Oluşan denklemi çözerek aa değerini bul.
−80a2=−320⇒a2=4⇒a=2-80a^2 = -320 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 (pozitif istendiği için)
a2=4a^2=4 denkleminin kökleri ±2\pm 2 dir, ancak soru pozitif gerçel sayı istediği için 2 alınır.

Key Concept

Binom açılımında (x+y)n(x+y)^n ifadesinin genel terimi (nr)xn−ryr\binom{n}{r} x^{n-r} y^r formülüyle bulunur.

Hints

1
Binom açılımı genel terim formülü olan (nr)xn−ryr\binom{n}{r} x^{n-r} y^r ifadesini kullanın.
2
Genel terimi yazdıktan sonra xx'in kuvvetlerini birleştirin ve x5−3rx^{5-3r} ifadesini x−4x^{-4}'e eşitleyerek rr değerini bulun.

Practice More

Benzer bir katsayı bulma sorusunu, terim içinde köklü ifadeler (x)(\sqrt{x}) varken çözmeyi deneyin.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Binom Açılımı

More questions from this topic