Examkin

Question

Difficulty: Hardİşlem
Reel sayılar kümesinde her x,yx, y için,
xΔy=xy+2x+2y+2x \Delta y = xy + 2x + 2y + 2

işlemi tanımlanıyor.

Buna göre, bu işlemde tersi kendisine eşit olan ve birim (etkisiz) elemandan farklı olan sayı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    -4
  2. -3Answer
  3. C
    -2
  4. D
    -1
  5. E
    1

Answer

İstenen sayı -3'tür.
İşlemin birim elemanı e=−1e=-1 olarak bulunur. Tersi kendisine eşit olan eleman için xΔx=−1x \Delta x = -1 denklemi çözüldüğünde x=−1x=-1 ve x=−3x=-3 kökleri elde edilir. Birim elemandan farklı olması istendiği için doğru cevap -3'tür.

Step-by-Step Solution

1
İşlemin birim (etkisiz) elemanı olan ee sayısını bulmak için xΔe=xx \Delta e = x eşitliğini kur.
x⋅e+2x+2e+2=xx \cdot e + 2x + 2e + 2 = x
Birim eleman, işleme girdiğinde diğer elemanı değiştirmeyen elemandır.
2
ee'yi yalnız bırakmak için ifadeyi düzenle.
x(e)+2e=x−2x−2⇒e(x+2)=−(x+2)x(e) + 2e = x - 2x - 2 \Rightarrow e(x+2) = -(x+2)
Her xx için bu eşitliğin sağlanması gerekmektedir.
3
Sadeleştirme yaparak ee değerini bul.
e=−1e = -1
Birim eleman -1'dir.
4
Tersi kendisine eşit olan sayıya aa diyerek aΔa=ea \Delta a = e denklemini kur.
a⋅a+2a+2a+2=−1a \cdot a + 2a + 2a + 2 = -1
Bir elemanın tersi ile işleme girmesi sonucu birim eleman elde edilir.
5
Oluşan ikinci dereceden denklemi çöz.
a2+4a+2=−1⇒a2+4a+3=0⇒(a+3)(a+1)=0a^2 + 4a + 2 = -1 \Rightarrow a^2 + 4a + 3 = 0 \Rightarrow (a+3)(a+1) = 0
Kökleri bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.
6
Denklemin köklerini bul ve sorudaki şartı sağlayan değeri seç.
a=−1a = -1 veya a=−3a = -3. Soruda 'birim elemandan farklı' dendiği için cevap -3'tür.
-1 sayısı birim elemanın kendisidir, bu yüzden diğer kök seçilir.

Key Concept

İşlemde Birim ve Ters Eleman Bulma

Hints

1
Önce işlemin birim (etkisiz) elemanını bulmalısın. Birim eleman ee ise, her xx için xΔe=xx \Delta e = x eşitliği sağlanmalıdır.
2
Birim elemanı e=−1e = -1 olarak bulduktan sonra, tersi kendisine eşit olan sayı aa için aΔa=−1a \Delta a = -1 denklemini çözmelisin.
3
Denklem a2+4a+3=0a^2 + 4a + 3 = 0 formuna gelecektir. Bu denklemin köklerinden biri birim elemandır, soruda diğer kök istenmektedir.

Alternative Method

Formül ezberiyle: xΔy=xy+k(x+y)+kx \Delta y = xy + k(x+y) + k formundaki işlemlerde birim eleman xΔe=x⇒e(x+k)=−k(x+k)⇒e=−kx \Delta e = x \Rightarrow e(x+k) = -k(x+k) \Rightarrow e=-k çıkarımından hızlıca bulunabilir, ancak tanım üzerinden gitmek daha güvenlidir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

İşlem

More questions from this topic