n bir doğal sayı olmak üzere, \frac{(n+1)! - n!}{(n-1)! + (n-2)!} = 30 \neşitliğini sağlayan n değeri kaçtır?

n bir doğal sayı olmak üzere, \frac{(n+1)! - n!}{(n-1)! + (n-2)!} = 30 \neşitliğini sağlay… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

$n$ bir doğal sayı olmak üzere,

\frac{(n+1)! - n!}{(n-1)! + (n-2)!} = 30

eşitliğini sağlayan

n

değeri kaçtır?

Eşitliği sağlayan n değeri 6'dır.

Verilen eşitlikte faktöriyel tanımları kullanılarak paranteze alma işlemi yapıldığında ifade

n(n-1) = 30

haline gelir. Ardışık iki doğal sayının çarpımı 30 olduğunda büyük olan sayı (n) 6 olmalıdır.

Pay ve paydadaki faktöriyel ifadelerini, kendi içlerindeki en küçük faktöriyel parantezine alacak şekilde düzenle.

Pay:

n!(n+1) - n! = n!(n+1-1) = n \cdot n!

Payda:

(n-1)! + (n-2)! = (n-2)!(n-1) + (n-2)! = (n-2)!(n-1+1) = n \cdot (n-2)!

Faktöriyelli ifadelerde toplama/çıkarma yapabilmek için ortak çarpan parantezine almak gerekir.

Elde edilen ifadeleri kesirde yerine yaz ve sadeleştir.

\frac{n \cdot n!}{n \cdot (n-2)!} = 30 \implies \frac{n!}{(n-2)!} = 30

Pay ve paydadaki 'n' çarpanları birbirini götürür.

Kalan faktöriyelli ifadeyi açarak denklemi çöz.

\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!} = 30 \implies n(n-1) = 30

n!

(n-2)!

cinsinden yazılarak sadeleştirilir.

Ardışık iki sayının çarpımı 30 olan n değerini bul.

6 \times 5 = 30

olduğu için

n = 6

bulunur.

n bir doğal sayı olduğu için pozitif çarpan dikkate alınır.

Faktöriyel kavramında sadeleştirme işlemi, büyük olan sayının küçüğe benzetilerek açılması (örneğin

n! = n(n-1)!

) prensibine dayanır.

Faktöriyelli ifadeleri toplamak veya çıkarmak için, en küçük faktöriyel parantezine almayı deneyin.

(n+1)! = (n+1) \cdot n!

(n-1)! = (n-1) \cdot (n-2)!

eşitliklerini kullanarak pay ve paydayı düzenleyin.

Sadeleştirmeler sonucunda

n(n-1) = 30

denklemini elde edeceksiniz.

Benzer mantıkla, paydasında bilinmeyen bulunan (n+2)! / (n)! = 72 gibi sorular çözülebilir.

Estimated Time:1m 30s