Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyon Tanımı ve Değer Bulma
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff fonksiyonu için,
f(2x+1)=4x−2x+1+7f(2^x + 1) = 4^x - 2^{x+1} + 7
eşitliği veriliyor.

Buna göre, f(4)f(4) değeri kaçtır?

  1. A
    7
  2. 10Answer
  3. C
    12
  4. D
    15
  5. E
    22

Answer

10
Doğru cevap 10'dur. Çünkü fonksiyonun tanım kümesindeki 2x+12^x+1 ifadesini 4 yapacak değer 2x=32^x=3'tür. Eşitliğin sağ tarafındaki 4x4^x, (2x)2(2^x)^2 yani 32=93^2=9 olur; 2x+12^{x+1} ise 2⋅2x2 \cdot 2^x yani 2⋅3=62 \cdot 3 = 6 olur. Sonuç 9−6+7=109 - 6 + 7 = 10 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun içindeki ifadeyi istenen değere eşitleme
2x+1=4⇒2x=32^x + 1 = 4 \Rightarrow 2^x = 3
f(4)f(4) değerini bulmak için parantez içini 4 yapan xx değişkenine bağlı değeri belirlemeliyiz.
2
Eşitliğin sağ tarafını düzenleme
4x−2x+1+7=(2x)2−2⋅2x+74^x - 2^{x+1} + 7 = (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x + 7
İfadeyi, bulduğumuz 2x2^x değerini yerine yazabilecek şekilde üslü sayı kurallarıyla parçalamalıyız.
3
Değeri yerine yazma ve sonucu bulma
32−2⋅3+7=9−6+7=103^2 - 2 \cdot 3 + 7 = 9 - 6 + 7 = 10
2x2^x gördüğümüz yere 3 yazarak işlemi tamamlarız.

Key Concept

Değişken Dönüşümü Yoluyla Fonksiyon Değeri Bulma

Hints

1
Fonksiyonun içindeki 2x+12^x + 1 ifadesini istenen değer olan 4'e eşitleyerek başlayın.
2
xx değerini tam sayı olarak bulmaya çalışmayın; bunun yerine 2x2^x ifadesinin değerini (2x=32^x = 3) bulun ve sağ tarafta kullanın.
3
Eşitliğin sağ tarafındaki 4x4^x ifadesini (2x)2(2^x)^2 ve 2x+12^{x+1} ifadesini 2⋅2x2 \cdot 2^x şeklinde yazarak 2x2^x yerine 3 koyun.

Alternative Method

Eğer logaritma biliniyorsa, 2x=3⇒x=log⁡232^x = 3 \Rightarrow x = \log_2 3 dönüşümü yapılarak da çözülebilir, ancak değişken dönüşümü (blok yerleştirme) yöntemi KPSS için daha pratiktir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Tanımı ve Değer Bulma

More questions from this topic