Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyon Tanımı ve Değer Bulma
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx ve yy gerçel sayısı için
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xyf(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy

eşitliğini sağlamaktadır. f(3)=18f(3) = 18 olduğuna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?
  1. A
    2
  2. B
    3
  3. 4Answer
  4. D
    5
  5. E
    6

Answer

4
Verilen fonksiyonel denklemde değişkenlere sırasıyla değerler verilerek istenen sonuca adım adım ulaşılır. Önce x=1, y=1 alınarak f(2) değeri f(1) cinsinden bulunur (2f(1)+22f(1)+2). Daha sonra x=2, y=1 alınarak f(3) değeri f(2) ve f(1) cinsinden yazılır. Elde edilen denklem çözüldüğünde f(1)=4 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
f(2) değerini f(1) cinsinden ifade etmek için denklemde x = 1 ve y = 1 değerlerini yerine yazın.
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2⋅1⋅1=2f(1)+2f(2) = f(1+1) = f(1) + f(1) + 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2f(1) + 2
Bilinmeyen f(1) değerinden f(3)'e ulaşmak için ara basamak olan f(2)'yi bulmamız gerekir.
2
f(3) değerini f(2) ve f(1) cinsinden ifade etmek için x = 2 ve y = 1 değerlerini kullanın.
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+2⋅2⋅1=f(2)+f(1)+4f(3) = f(2+1) = f(2) + f(1) + 2 \cdot 2 \cdot 1 = f(2) + f(1) + 4
Verilen f(3) değerini kullanabilmek için denklemi genişletiyoruz.
3
Bulunan f(2) ifadesini f(3) denkleminde yerine yazarak f(1)'e bağlı bir denklem elde edin.
f(3)=(2f(1)+2)+f(1)+4=3f(1)+6f(3) = (2f(1) + 2) + f(1) + 4 = 3f(1) + 6
Tek bilinmeyenli bir denklem elde ederek f(1) değerini çözebiliriz.
4
f(3) = 18 eşitliğini kullanarak denklemi çözün.
3f(1)+6=18⇒3f(1)=12⇒f(1)=43f(1) + 6 = 18 \Rightarrow 3f(1) = 12 \Rightarrow f(1) = 4
Sonuç değeri.

Key Concept

İki Değişkenli Fonksiyonel Denklemler

Hints

1
Önce f(2)f(2) değerini f(1)f(1) cinsinden bulmak için denklemde x=1x=1 ve y=1y=1 yazmayı deneyin.
2
f(2)=2f(1)+2f(2) = 2f(1) + 2 eşitliğini bulduktan sonra, f(3)f(3) değerine ulaşmak için x=2x=2 ve y=1y=1 değerlerini kullanın.

Practice More

Benzer bir mantıkla f(xy)=f(x)+f(y)f(xy) = f(x) + f(y) logaritmik fonksiyon özelliğini test eden sorular çözülebilir.

Alternative Method

Bu tür denklemlerde genel kural f(x)=ax2+bxf(x) = ax^2 + bx formatında olabilir. f(x)=x2+kxf(x) = x^2 + kx varsayımıyla f(3)=9+3k=18⇒k=3f(3) = 9 + 3k = 18 \Rightarrow k=3 bulunur. Buradan f(1)=12+3(1)=4f(1) = 1^2 + 3(1) = 4 elde edilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Tanımı ve Değer Bulma

More questions from this topic