Examkin

Question

Difficulty: HardBinom Açılımı

(x2−2x2)n\left(x^2 - \frac{2}{x^2}\right)^n ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımında, baştan 4. terim A⋅x4A \cdot x^4 biçimindedir.

Buna göre, AA sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. -448Answer
  2. B
    448
  3. C
    -336
  4. D
    -224
  5. E
    -112

Answer

İstenen katsayı -448 değeridir.
Verilen binom açılımında baştan 4. terim istendiği için r=3r=3 alınır. Genel terim formülü (nr)(x2)n−r(−2x−2)r\binom{n}{r}(x^2)^{n-r}(-2x^{-2})^r şeklinde yazıldığında, x'in kuvveti 2(n−3)−2(3)=2n−122(n-3)-2(3) = 2n-12 olur. Soruda bu kuvvetin 4 olduğu belirtilmiştir (x4x^4). Buradan 2n−12=4⇒n=82n-12=4 \Rightarrow n=8 bulunur. Son olarak katsayı A=(83)(−2)3=56⋅(−8)=−448A = \binom{8}{3}(-2)^3 = 56 \cdot (-8) = -448 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Genel terim formülünü yaz ve baştan 4. terim için r değerini belirle.
Binom açılımı genel terimi (nr)(a)n−r(b)r\binom{n}{r} (a)^{n-r} (b)^r şeklindedir. Baştan 4. terim için r=4−1=3r = 4-1 = 3 alınır.
n elemanlı bir kümenin r'li kombinasyonları açılımındaki terim sırası r=0r=0 ile başlar.
2
Verilen ifadeleri genel terimde yerine koyarak x'in kuvvetini n cinsinden ifade et.
(n3)(x2)n−3(−2x−2)3=(n3)x2n−6(−2)3x−6=(n3)(−8)x2n−12\binom{n}{3} (x^2)^{n-3} (-2x^{-2})^3 = \binom{n}{3} x^{2n-6} (-2)^3 x^{-6} = \binom{n}{3} (-8) x^{2n-12}
Üslü sayıların özellikleri kullanılarak x'in üsleri birleştirilir: (xa)b=xa⋅b(x^a)^b = x^{a \cdot b} ve xa⋅xb=xa+bx^a \cdot x^b = x^{a+b}.
3
Elde edilen x kuvvetini soruda verilen x4x^4 ile eşitleyerek n değerini bul.
2n−12=4  ⟹  2n=16  ⟹  n=82n - 12 = 4 \implies 2n = 16 \implies n = 8
Terimlerin özdeş olması için x'in kuvvetleri eşit olmalıdır.
4
Bulunan n=8 değerini yerine koyarak A katsayısını hesapla.
A=(83)⋅(−2)3=8⋅7⋅63⋅2⋅1⋅(−8)=56⋅(−8)=−448A = \binom{8}{3} \cdot (-2)^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (-8) = 56 \cdot (-8) = -448
A katsayısı, kombinasyon değeri ile sabit sayıların kuvvetlerinin çarpımıdır.

Key Concept

Binom açılımında genel terim Tr+1=(nr)an−rbrT_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r formülüyle bulunur.

Hints

1
Binom açılımında baştan (r+1)(r+1). terim formülü (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r şeklindedir. Burada rr değerini doğru belirlemelisiniz.
2
Baştan 4. terim için r=3r=3 alınmalıdır. xx'in kuvvetlerini bir araya getirerek nn değerini bulmak için bir denklem kurunuz.
3
Kuvvet denkleminden n=8n=8 bulunur. Şimdi A=(83)⋅(−2)3A = \binom{8}{3} \cdot (-2)^3 işlemini işaretlere dikkat ederek hesaplayınız.

Practice More

Benzer yapıda ancak sabit terimi (x^0) soran sorular çözülerek n bulma pratiği yapılabilir.

Alternative Method

Alternatif olarak, terimleri tek tek yazmak yerine Pascal üçgeni mantığı düşünülebilir, ancak n bilinmediği için genel terim formülü en güvenilir yoldur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Binom Açılımı

More questions from this topic