Examkin

Question

Difficulty: HardBinom Açılımı

(x2−ax)6\left(x^2 - \frac{a}{x}\right)^6 ifadesinin açılımında x3x^3 lü terimin katsayısı −160-160 tır.

Buna göre, bu ifadenin açılımındaki sabit terim kaçtır?

  1. A
    15
  2. B
    60
  3. C
    160
  4. 240Answer
  5. E
    -240

Answer

İfadenin sabit terimi 240'tır.
Soruda verilen x3x^3 lü terim bilgisi kullanılarak önce bilinmeyen aa değeri bulunur (a=2a=2). Daha sonra sabit terim (yani x0x^0) için gereken rr değeri (r=4r=4) bulunarak hesaplama yapılır. (64)(−2)4=15⋅16=240\binom{6}{4} (-2)^4 = 15 \cdot 16 = 240 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Genel terim formülünü yaz: (nr)(1.terim)n−r(2.terim)r\binom{n}{r} (1.terim)^{n-r} (2.terim)^r
(6r)(x2)6−r(−ax−1)r\binom{6}{r} (x^2)^{6-r} (-ax^{-1})^r
Binom açılımındaki herhangi bir terimi bulmak için genel formül kullanılır.
2
x3x^3 lü terimi bulmak için x'in kuvvetini 3'e eşitle ve r değerini bul.
2(6−r)−r=3⇒12−3r=3⇒3r=9⇒r=32(6-r) - r = 3 \Rightarrow 12 - 3r = 3 \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r = 3
İstenen terimin hangi sırada olduğunu (r değerini) belirlemek gerekir.
3
Bulunan r=3 değerini ve verilen katsayıyı (-160) kullanarak a değerini hesapla.
(63)(−a)3=−160⇒20⋅(−a3)=−160⇒a3=8⇒a=2\binom{6}{3} (-a)^3 = -160 \Rightarrow 20 \cdot (-a^3) = -160 \Rightarrow a^3 = 8 \Rightarrow a = 2
Bilinmeyen parametreyi (a) bulmak için verilen katsayı bilgisi kullanılır.
4
Sabit terimi bulmak için x'in kuvvetini 0'a eşitle ve yeni r değerini bul.
12−3r=0⇒3r=12⇒r=412 - 3r = 0 \Rightarrow 3r = 12 \Rightarrow r = 4
Sabit terim, x değişkeninin bulunmadığı (kuvvetinin 0 olduğu) terimdir.
5
Yeni r=4 ve a=2 değerlerini genel terimde yerine koyarak sonucu hesapla.
(64)(x2)2(−2x−1)4=15⋅x4⋅16x−4=15⋅16=240\binom{6}{4} (x^2)^2 (-2x^{-1})^4 = 15 \cdot x^4 \cdot 16x^{-4} = 15 \cdot 16 = 240
Son işlemle istenen sabit terim değeri bulunur.

Key Concept

Binom açılımında genel terim (nr)xn−ryr\binom{n}{r} x^{n-r} y^r formülüyle bulunur. Sabit terim için değişkenin kuvveti 0 olmalıdır.

Hints

1
Önce (nr)(1.terim)n−r(2.terim)r\binom{n}{r} (1.terim)^{n-r} (2.terim)^r genel terim formülünü yazarak x'in kuvvetlerini düzenleyiniz.
2
x3x^3 elde etmek için rr yerine kaç gelmesi gerektiğini bulunuz. Bu sayede aa değerini hesaplayabilirsiniz.
3
a=2a=2 bulduktan sonra, sabit terim için x'in kuvvetini sıfırlayan yeni r değerini (r=4) kullanarak hesap yapınız.

Alternative Method

Sabit terim dışındaki sorularda a değeri bulunamazsa, bazen değişken yerine değer verme (x=1 gibi) yöntemi kullanılabilir, ancak bu soruda x paydada olduğu için genel terim yöntemi zorunludur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Binom Açılımı

More questions from this topic